Теория игр в менеджменте

Основные определения. Понятие игры

Методы теории игр используются в задачах принятия решений в случае, при котором сталкиваются интересы несколько участников. Между сторонами, принимающими решение, имеет место конфликт. Конфликтные ситуации связаны со многими областями практической деятельности, такими как экономика, политика, медицина, вопросы охраны окружающей среды и т.д.

Упрощенную математическую модель такой ситуации будем называть игрой. Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Каждый игрок располагает выбором нескольких вариантов действий для достижения своих целей, которые называются стратегиями. Исход шры определяется выбором игроками своих стратегий. После того, как выбор сделан, каждый игрок получает свой выигрыш.

Рассмотрим игру с двумя участниками. Первый игрок имеет т стратегий, второй — «. Выбор первым игроком стратегии с номером г, а вторым игроком стратегии с номером j, определяет исход игры. Ни один из игроков не знает выбора противника. Игрок I получает в качестве выигрыша сумму ац, а игрок II — сумму bt/.

Игра двух лиц в называется антагонистической (или игрой с нулевой суммой), если а. + bt/ = 0 при любой стратегии / игрока I и любой стратегии j игрока II. Антагонистическая игра описывается одной матрицей, которая называется матрицей игры. В зависимости от содержательной стороны задачи она может быть платежной или матрицей выигрышей. Под решением игры подразумевается выработка рекомендаций для такого поведения игроков, которое обеспечит игрокам максимально возможный выигрыш (или минимальный проигрыш).

Бескоалиционные конечные игры с матрицами А и А называются стратегически эквивалентными если = а.. + с, т.с. матрицы

отличаются на постоянную величину с — вещественную константу. Оптимальные стратегии стратегически эквивалентных игр совпадают. Для антагонистических игр стратегически эквивалентными являются игры с постоянной суммой.

Рассмотрим теперь примеры составления игровых моделей.

Две фирмы,

Расположение

АЗС

Фирма 1

Фирма 2

Ближе

70%

30%

Дальше

35%

65%

На одинаковом расстоянии

56%

44%

Таблица 3.1

имеющие сеть

бензоколонок планируют открыть новые

автозаправки вдоль трассы, на которой расположены пять

городов. Известны

предпочтения

автовладельцев по отношению к автозаправкам каждой фирмы (табл. 3.1), расстояние между городами (рис. 3.1) и количество автомобилей в каждом городе (табл. 3.2). В каком из городов каждая фирма должна разместить свою автозаправку?

Рис. 3.1

П1

П2

ПЗ

П4

П5

10 тыс.

25 тыс.

20 гыс.

30 тыс.

15 тыс.

Таблица 3.2

Возможная прибыль зависит от места жителей автомобилиста и степени удаленности бензоколонки. Предполагается, что каждый из автомобилистов воспользуется услугами одной из фирм. Общее число автомобилей — 100 тыс. В платежной матрице указывается прибыль первой формы ац. Прибыль второй рассчитывается как разность 100-а1;.

Вычислим элементы платежной матрицы, с учетом предложенных условий: ситуация в игре (П1 ,П 1) означает, что первая и вторая фирмы построили автозаправку в первом городе. Для всех автомобилистов расстояние до станций считается одинаковым. Прибыль первой фирмы:

  • 0.56 х 100 = 56 у.е., прибыль второй: 100 — 56 = 44 у.е. Ситуации (П2,П2), (ПЗ,ПЗ) и т.д. аналогичны. Ситуация (П1,П2) означает, что первая фирма построила заправку в первом городе, вторая — во втором. Водители первого города заправляют машины у себя, всем остальным ближе заправка во втором: 0.7 х 10 + 0.35 х (25 + 20 + 30 + 15) = 38.5. Для ситуации (П1,ПЗ) получим: 0.7 х (10 + 25) + 0.35 х (20 + 30 + 15) = 47.25. Рассмотрим ситуацию (П1,П4), учитывая, что жители третьего поселка живут на одинаковом расстоянии от первого и четвертого поселков: 0,7 х
  • (10 + 25) + 0.56 х 20 + 0.35 х (30 + 15). Аналогично заполним вес клетки и получим платежную матрицу игры с постоянной суммой:

П1

П2

ПЗ

П4

П5

П!

П2

ПЗ

П4

П5

Таблица 3.3

Чтобы принять решение необходимо провести анализ полученной матрицы. Вопросу, как это можно сделать, посвящены следующие разделы.

Пример 3.2

Две фирмы А и В, имеющие сеть магазинов по продаже бытовой техники, проводят комплекс мероприятий для продвижения новых моделей и привлечению покупателей. Фирма А размещает рекламу на телевидении, в прессе, проводит акции для покупателей в своих магазинах. Фирма В проводит рекламу на телевидении, на радио, в прессе и расширяет сеть своих магазинов. Таким образом фирма А располагает тремя стратегиями, а фирма В имеет четыре стратегии. Платежная матрица игры — матрица размерностью 3×4.

‘ 0.08

0.02 ‘

А =

ч 0.03

0.04 ,

Каждый элемент матрицы определяет увеличение доли продаж

фирмы А на рынке при использовании стратегии с номером i фирмой А и стратегии с номером j — фирмой В. Для фирмы В, соответственно, определяет уменьшение продаж. Если соответствующий элемент отрицательный, то это значит, наоборот, увеличение продаж фирмы В и уменьшение для фирмы А.

Пример 3.3

Представители военной части закупают наборы продуктов, для обеспечения питания солдат на учениях. Цель — произвести закупки как можно дешевле. Однако врач военной части требует, чтобы питание было полноценным и поэтому более дорогим. В результате совместных усилий были выбраны 4 поставщика (Ml, М2, М3, М4) и три варианта питания (В 1, В2, ВЗ). Руководство части выбирает поставщика, а врач — необходимый набор. Элементы платежной матрицы представляют стоимость возможных вариантов питания и представлены в табл. 3.4.

4.2. Теория игр

Применение теории игр в практике управления. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации .

В экономике аппарат математического анализа, занимающийся^п- ределением экстремумов функций, оказался недостаточным. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных и максиминных решений.

Таким образом, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

Основные понятия теории игр. В теории используются следующие понятия: ?

игра — упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры приданном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон. Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры. Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценивать количественно; ?

игрок — одна из сторон в игровой ситуации; ?

стратегия игрока — правила действия игрока в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления — системы, процесс управления в которых рассматривается как игра; ? платежная матрица — матрица эффективности, матрица игры. Она включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет т стратегий А,, а игрок 2 — п стратегий В] (/ = 1,т; у = 1, л) • Игра может быть названа игрой т х п. Представим матрицу эффективности игры*двух л иц с нулевой суммой, сопроводив ее необходимыми обозначениями (табл. 4.1) .

Таблица 4.1

Платежная матрица Игрок 2 в, *2 … К «/ л “и «12 «1» В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным признакам некоторые виды можно выделить .

Классификация игр. Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию.

Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков

имеет бесконечное число возможных стратегий, игра называется бесконечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делятся на следующие категории: ?

бескоалиционные — игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции; ?

колиационные — игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции; ?

кооперативные — игры, в которых заранее определены коалиции.

Характер выигрышей. Этот критерий позволяет выделить: ?

игры с нулевой суммой — предусматривают условие: сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю. Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Естественно, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется; игры с ненулевой суммой, к которым можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игры, за право участия в которых нужно вносить взнос, также игры с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры выделяют: ?

матричные — конечные игры двух игроков с нулевой суммой. В общем случае платежная матрица таких игр прямоугольная. Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока 2.

Выигрыш игрока 1 — элемент матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного программирования; ?

биматричные — конечные игры двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец — стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы — выигрыш игрока 2.

Для биматричных игр, также как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков; ?

непрерывные — игры, в которых функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий непрерывна; ?

выпуклые — игры, в которых функция выигрышей каждого игрока выпуклая; ?

сепарабельные — игры, в которых функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента.

Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно выделить: ?

одношаговые — игры, заканчивающиеся после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков происходит распределение выигрышей; ?

многошаговые игры — бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др.

Информированность сторон. Поданному критерию различают: ?

игры с полной информацией — каждый игрок на каждом ходу игры знает все стратегии, ранее примененные другими игроками на предыдущих ходах. Игра с полной информацией всегда имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях; ?

игры с неполной информацией — игроку известны не все стратегии предыдущих ходов других игроков.

Степень неполноты информации. По этому критерию игры подразделяются на статистические (в условиях частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности, см. ниже). Игры с природой часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статистического эксперимента, при котором вычисляется или оценивается распределение вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений.

Оценки игры. Рассмотрим матричную игру, представленную матри- цей выигрышей т х я, где число строк / = 1,т, а число столбцов у = 1, п (см. табл. 4.1). Применим принцип получения максимального гарантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе своей чистой стратегии, отвечающей этим условиям, он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша а0, которое обозначим

а, = пип а,у.

Чтобы этот гарантированный результат в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех ос, выбрать наибольшее значение. Обозначим его а и назовем чистой нижней ценой игры (максимин):

а,- = шаха = max min .

j j j

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матицы, которой соответствует элемент а. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал себе выигрыш, не меньший чем а. Таково оптимальное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждойу-й чистой стратегии он отыскивает величину своего максимального проигрыша:

?, = min ar

в каждомj-м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 примениту-ю чистую стратегию. Из всех своих лу-х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры (мини- макс):

? = max ? = min max a -.

j j

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, — выигрыш, не меньший, чем а. Игрок 2 за счет указанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выигрыш, больший, чем ?.

Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом платежной матрицы, в котором находится элемент ? (см. табл. 4.1). Это оптимальная чистая гарантирующая стратегия игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры v — цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают:

Теория игр

С одной стороны, теория игр является разделом «чистой математики». По своему первоначальному замыслу теория игр была разработана ее создателями Дж. Нейманом и О. Моргенштерном как математический аппарат, обслуживающий принятие оптимальных решений в экономике в условиях конкурентной борьбы. Однако, с другой стороны, теория игр — прикладная наука, используемая в рамках приложений исследования операций в целом.

Теория игр как раздел исследования операций есть теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности. При этом конфликт не обязательно должен пониматься как антагонистический, в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие.

Всякая игровая модель должна отражать, кто и как конфликтует, а также кто и в какой форме заинтересован в том или ином исходе конфликта. Действующие в конфликте стороны (в общем случае они являются коллективами, которые могут иметь внутреннюю иерархическую структуру) называются коалициями действия. Решения, принимаемые коалициями действия, и тем самым те действия, которые находятся в их распоряжении, называются коалиционными стратегиями. В результате выбора коалициями действия своих стратегий складывается некоторая ситуация. Заинтересованные стороны (партнеры), входящие в коалицию действий, называются коалициями интересов. Коалиции интересов также могут быть сложными коллективами. Различие их интересов состоит в том, что при сравнении двух ситуаций одна из коалиций интересов может предпочесть одну ситуацию, а другая коалиция — другую. Практически очень часто (хотя далеко не всегда) коалиция оценивает ситуацию по тому выигрышу, который она в этой ситуации получает.

Точное перечисление всех коалиций действия, множеств их стратегий, всех допускаемых ситуаций, всех коалиций интересов и их предпочтений определяет игру. Наиболее специфической чертой всякой игры является наличие в ней не менее двух коалиций интересов.

Цель теории игр — выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтных ситуациях, т. е. определение оптимальной стратегии каждой коалиции действия.

Игра представляет собой ситуацию, в которой двое или более лиц, принимающих решения (игроков), выбирают стратегии поведения, а окончательный результат игры определяется всей совокупностью решений, принятых в ходе игры всеми участниками. Более точно понятие игры можно определить следующим образом.

  • 1. Имеется п лиц, принимающих решения, п > 2. Если п = 2, то говорят о парной игре, или игре двух лиц, при п > 2 игра называется множественной, или игрой п лиц.
  • 2. Существует набор правил, определяющих выбор допустимых стратегий (т. е. партий, которые могут быть сыграны), и эти правила известны игрокам.
  • 3. Существует точно определенный набор конечных состояний, которыми заканчивается игра (например, выигрыш, проигрыш, ничья).
  • 4. Платежи (выигрыши), соответствующие каждому возможному конечному состоянию, заранее определены и известны каждому из игроков.

Следует сразу отметить, что только часть состязательных ситуаций можно представить в виде игровых моделей, ибо в реальных условиях допущения 2, 3 и 4 часто не выполняются.

Когда каждый игрок выбрал свою собственную стратегию, говорят, что состоялась партия, т. е. однократная реализация игры. Стратегия игрока представляет собой набор правил (или программу), определяющих, какие из имеющихся в его распоряжении ходов он должен сделать в каждой партии. В теории игр отыскиваются стратегии, максимизирующие или минимизирующие некоторую целевую функцию (критерий).

Оптимальной стратегией в теории игр называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной коалиции действий максимально возможный средний выигрыш.

Решение игры заключается в определении наилучшей (оптимальной) стратегии для каждого игрока. «Качество» стратегии определяется, в свою очередь, выбором целевой функции, задание которой зависит от априорных знаний игроков относительно стратегий противника. Если каждому игроку точно известно, как будет поступать противник, то ситуация полностью детерминирована, и целевая функция выражается в максимизации выигрыша. Если известны вероятности выбора стратегий (или ходов), то цель игроков — максимизация ожидаемого выигрыша. Когда эти вероятности неизвестны, то мы имеем дело с ситуацией, относящейся к категории неопределенных. В таких ситуациях применяют различные целевые функции. Четыре наиболее важных критерия, используемых в этих ситуациях, рассмотрены в главе

6. Это минимакс (или максимин), обобщенный максимин, критерии минимаксного сожаления и Лапласа.

Конкретизация составных частей игры определяет те или иные более конкретные классы игры. Например, если все коалиции действия есть коалиции интересов и наоборот (в коалициях действий отсутствуют коалиции интересов) и все они могут пониматься как нерасчленимые субъекты (фирма в условиях борьбы на рынке или, скажем, научная организация, участвующая в конкурсе на лучший проект), то получается так называемая бескоалиционная игра. Бескоалиционными играми описываются многие экономические конфликты. В этом случае коалиции называются игроками.

В частности, если в бескоалиционной игре участвуют два игрока и их интересы диаметрально противоположны (это значит, что выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу другого), то игра называется антагонистической. Например, всякого рода бои, поединки, погони, войны, конкуренция.

Когда потери (проигрыш) одного игрока (или игроков) в точности равны выигрышу другого (или других), такую игру называют игрой с нулевой суммой. Так, например, платежи в игре двух лиц с нулевой суммой можно представить в виде платежной матрицы, подобной матрице в таблице 8.5, в которой платежи игроку В равны платежам игроку А, взятым с обратным знаком. Если оба игрока выбирают стратегию 1, то А выигрывает, а В проигрывает 1 у.е. и т. д. В игре с ненулевой суммой некоторый третий участник (например, арбитр) получает или выплачивает некоторую сумму. Платежная матрица такой игры показана в таблице 8.6. Левое число в каждой клетке есть выигрыш А, правое — выигрыш В. Отметим, что при выборе стратегий (1,1) и (2,2) сумма выигрышей не равна нулю.

Имеется много примеров возникновения задач, которые можно представить в виде платежной матрицы парной игры с ненулевой суммой.

Рассмотрим ситуацию, в которой две фирмы, основная продукция которых конкурирует на рынке, продают свои товары по одинаковым ценам. Каждая фирма намеревается снизить цены с целью захвата большей доли рынка и увеличения своей прибыли. Ситуация описывается в таблице 8.7.

Платежная матрица парной игры с нулевой суммой

Игрок В

Выигрыш А

Игрок А

Таблица 8.6

Платежная матрица парной игры с ненулевой суммой

Игрок В

Игрок А

1, 1

-5, 5

5, -5

-1, -1

Таблица 8.7

Выбор стратегии в конкурентной борьбе

Фирма В

Сохранение неизменных цен

Понижение цен

Фирма А

Сохранение

неизменных

цен

3,3

Положение не изменяется

1,4

Доля рынка и прибыль фирмы В возрастут

Понижение

цен

Доля рынка и прибыль фирмы А возрастут

2,2

Обе фирмы сохраняют прежние доли рынка, но теряют часть прибыли

Можно предположить, что в результате оценки ситуации обоими игроками каждый выберет стратегию 1, обеспечивающую любому из них выигрыш, равный 3. Однако, продолжая размышлять, А может прийти к следующему выводу: «Если В выберет стратегию 1, то мне следует выбрать стратегию 2, ибо мой выигрыш возрастет при этом до 4». Но аналогично может рассуждать и В, который также способен прийти к выбору стратегии 2. Если оба игрока выберут эту стратегию, то каждый получит выигрыш, равный только 2. Пара (2,2) представляет собой точку равновесия, так как в случае отклонения любого из игроков от этой точки он окажется в худшем положении, чем прежде, если второй будет оставаться в этой точке.

Если опираться на теорию игр, то кажется, что игроки должны были бы выбрать (2,2), поскольку это точка равновесия, однако интуитивно такой выбор представляется неудовлетворительным. С другой стороны, выбор (4,1) интуитивно наиболее привлекателен, но нет уверенности, что он надежен. Отсюда и возникает проблема. В экспериментальных и реальных игровых ситуациях большинство игроков выбирает ситуации, представленные точкой равновесия.

Несколько особое место в теории игр занимают кооперативные игры. В них имеется единственная действующая сторона, выбирающая ситуации, а коалиции интересов (партнеры), руководствуясь своими предпочтениями, выдвигают требования тех или иных ситуаций. Выигрыш одного партнера оказывается вместе с тем и выигрышем другого. Ситуация в кооперативной игре обычно называется дележом. Таковы, например, взаимные действия капитанов на судах, которым грозит столкновение.

Кроме того, есть еще так называемые игры против природы, где целенаправленно ведет себя только один партнер (человек, человеческий коллектив), а другой партнер — «природа» — не способен к целенаправленным действиям, но проявляет активность. В роли «природы» могут выступать не только погода, флора и фауна, земные недра, но и пассажирские потоки в транспорте, покупательский спрос на определенного вида продукцию.

В теории игр исследуются главным образом неопределенные ситуации. В сущности цель теории игр — преобразование неопределенной ситуации в детерминированную на основании ряда «допущений о рациональности» поведения игроков.

Предполагается, что каждый игрок действует так, чтобы максимизировать для себя ожидаемый выигрыш. Исходя из этого утверждается, что каждый игрок будет принимать решения, максимизирующие его минимальный выигрыш или минимизирующие его максимальный проигрыш. Поэтому если игрок А (табл. 8.5) считает, что его противник В будет вести себя рационально, то он убежден, что В выберет стратегию 1, ибо его максимальный проигрыш в этом случае составит всего 2, а не 4 у.е., как могло быть при выборе стратегии 2. Исходя из вывода, что В будет пользоваться стратегией 1, А выбирает стратегию 2, максимизирующую его выигрыш. На основе таких рассуждений неопределенность исключается из рассмотрения.

Следовательно, при выборе лучшей стратегии исходят из предположения, что противник по меньшей мере так же разумен, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

В теории игр не учитываются элементы азарта и риска, неизбежно присутствующие в каждой реальной стратегии, а также возможные просчеты и ошибки каждой из конфликтующих сторон.

Среди типичных способов игровой активности, исследованных математиками, чаще всего встречаются стратегии осторожности; они наиболее надежны.

Главная руководящая идея этих стратегий — принцип максимина (или минимакса). Это, грубо говоря, игра в расчете на такое ответное поведение второго партнера, которое для первого партнера наименее благоприятно. Другими словами, это запрет ориентироваться на слабость, глупость и неопытность партнера («бойся врага умного, а не глупого») — при игре антагонистической или его ум, силу, опытность («услужливый дурак опаснее врага») — при игре кооперативной. Это рекомендация наименьшего риска, но вместе с тем такого построения игры, которое гарантирует максимальные шансы на собственный выигрыш при минимально благоприятном поведении партнера (отсюда и название — максимин).

Исходя из этого принципа, каждый участник игры строит обоснованные прогнозы поведения остальных участников и, таким образом, оптимизирует в определенном смысле свое собственное поведение.

Принцип максимина рекомендует так восполнить в своем представлении неопределенность поведения партнера, чтобы быть готовым к наиболее трудной игре. В применении к природе это означает, по существу, ее условное «одухотворение» и наделение ее «свободой воли». Например, планируя маршруты экспедиций геологической разведки в неизвестной местности, намечая пункты бурения и систему анализов, практически выгодно оценить ситуацию как игровую, воспользовавшись принципом максимина: приписать земным недрам «намерения» укрыть свои богатства, «солгать» во взятых пробах и т. д. Таким образом, разрабатывают самую надежную (в расчете «на худой конец») стратегию геологических поисков. И, как доказала практика, заметно экономят средства и повышают производительность труда.

Столь же эффективно максиминное моделирование промыслового лова рыбы (косяки рыбы «не желают» попасть в тралы) и условное наделение «разумнозлой» или «неразумнодоброй» свободной волей пассажирских потоков при составлении транспортных расписаний.

Однако возникает одно принципиальное затруднение, обусловленное выводом, что из гипотезы «рациональности» обязательно следует выбор стратегии, максимизирующей минимальный выигрыш. Даже среди специалистов по теории игр отсутствует единое мнение, что игроки должны действовать подобным образом, не говоря уже о массе фактических данных, указывающих на то, что поведение, по-видимому, вполне рациональных игроков на самом деле не носит такого характера и вообще едва ли подчиняется каким-либо логическим правилам. Поэтому теорию игр обычно рассматривают как теорию предположения, подразумевая под этим, что она исследует предполагаемое поведение рациональных игроков, которое можно определить.

Практическое применение теории игр часто затруднительно, так как выявление предпочтений между ситуациями не всегда имеет объективные основания и связано с общей проблемой измерений величин в экономике, психологии, военном деле и т. д. Вместе с тем качественные выводы, даваемые теорией игр на основе использования приближенных или даже условных данных, могут принести большую пользу. Известны приложения теории игр в военно-тактических задачах, в технических науках и в управлении (например, при выработке поведения фирмы на рынке, в вопросах рекламы, арбитража, при проведении избирательных кампаний, аукционов, при определении оптимальных соотношений между централизацией и децентрализацией экономики).

Например, теоретико-игровую трактовку можно применить к вопросам принятия решений следующим образом. Рассматриваем принимающего решение индивида (руководителя), выступающим в роли арбитра в игре, где игроками являются отдельные признаки, факторы (затраты, выполнение директивных указаний вышестоящей организации, прибыль предприятия, срок окупаемости, степень риска, степень доверия к источнику информации, например к автору рассматриваемого предложения). Игрокам предлагаются различные варианты решения, каждый игрок оценивает их в соответствии со своим критерием оценки. На этом основании арбитр должен выбрать «справедливое» решение, в наибольшей степени отвечающее условиям задачи. Если признаки несравнимы между собой, а варианты по каждому признаку количественно соизмеримы, это — бескоалиционная игра, в которой каждый игрок играет сам за себя. Если признаки частично сравнимы, то можно попытаться применить коалиционную игру, в которой некоторые игроки-признаки играют совместно.

В математической трактовке эта задача выгладит следующим образом. Дано множество альтернатив X = {х}, каждая альтернатива обладает некоторым множеством признаков А = {а}. Задано предпочтение индивида на X = {х} по каждому признаку и некоторое упорядочение индивидом этих признаков. Требуется выделить единственную «лучшую» альтернативу.

Основная ценность теории игр заключается в возможности использовать ее аппарат для расширения довольно узкого общепринятого понятия оптимальности. Такие понятия теории игр, как компромиссное (равновесное или эффективное) решение, помогают более глубокому выяснению принципов оптимальности в процессах принятия решений.

  • Изложение основных этапов развития теории игр можно найти в статье Н. Н. Воробьева, помещенной в книге .

Применение теории игр в управленческих решениях

Министерство образования и науки РФ

Курсовой проект

По дисциплине «Разработка управленческих

решений»

на тему: «Применение теории игр в управленческих решениях»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

  1. Роль экономико-математических методов в оптимизации
    управленческих решений

  2. Основы понятия теории игр

3. Применение теории игр в инвестиционных решениях.
Вариант (342)

Заключение

Список используемой литературы ,

^

Введение

Одним из способов получения прибыли в современных условиях развития рыночных отношений является инвестирование капитала в различные проекты. Теория игр представляет собой выбор решений в условиях неполной информации. Когда складываются конфликтные ситуации наиболее характерные для рыночной экономики исход которых зависит от действия соперника с противоположными решениями и когда невозможно использовать другой аппарат .При этом важно правильно и выгодно выбрать тот или иной проект. В данной работе рассмотрен пример выбора одного из пяти проектов на трех временных этапах инвестирования.

1. Роль экономико-математических методов в оптимизации управленческих решении.

Экономико-математические методы в оптимизации управленческих решений — способы, используемые при выборе решения, обеспечивающего получение максимального или минимального значения выбранного критерия: максимальная

з

прибыль, доход, лучшее качество, минимальные

затраты, цены, сроки и т.п. В качестве методов оптимизации управленческих решений используются экономико-математические методы и модели (линейного, нелинейного, динамического, параметрического программирования, теории массового4 обслуживания), экспертные оценки (метод взвешенных критериев). Экономико-математические методы и модели в задачах оптимального управления инвестиционными и инновационными проектами Основные задачи управления инновационными и инвестиционными проектами. Выбор оптимальной стратегии инвестирования средств как одна из важнейших задач управления проектами. Множество доступных для инвестора инвестиционных возможностей как база для формирования альтернативных инвестиционных решений. Постановка задачи поиска эффективной стратегии инвестирования средств. Существующие традиционные подходы к выбору стратегии. Классификация объектов инвестирования. Влияние вида объекта на постановку задачи определения стратегии и выбор методов ее решения. Постановка задачи управления изменениями.

Экономико-математические методы и модели как эффективный инструмент оптимизации инвестиционных и управленческих решений. Понятия множества допустимых решений, целевой функции (функционала задачи) и критерия оптимизации. Классификация математических методов и моделей оптимизации. Методы и модели линейного программирования. Методы и модели целочисленного и частично целочисленного линейного программирования. Характер переменных. Краткая характеристика методов и моделей для решения транспортных задач. Характер переменных. Виды ограничений. Функционал задачи. Методы поиска оптимальных решений. Область

применения. Класс решаемых управленческих и экономических задач оптимизации. Общие подходы к построению моделей. Задача выбора оптимальной производственной про граммы предприятия.

Задача оптимизации стратегии инвестирования средств в проекты создания производственно-сбытовых сетей для многоассортиментных отраслей химической промышленности. Краткое описание объектов инвестирования и множества, доступных для инвестора инвестиционных возможностей. Задача оптимизации стратегии инвестирования средств в проекты разработки нефтяных и газовых месторождений. Применяемые методы оптимизации. Использование разработанных методов и моделей для управления изменениями.

2.Основные понятия теории игр

Теория игр — теория математических моделей принятия решений в

условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект

(игрок), располагает информацией лишь о множестве

возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности

находится о множестве решений, которые он может принять, и о

количественной мере того выигрыша, который он мог бы

получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.

Классификация игр

1. По выигрышу: а) антагонистические игры; б) игры с нулевой

суммой.

  1. По характеру получения информации: а) игры в нормальной
    форме (игроки получают всю информацию до начала игры); б)
    динамические игры (информация поступает в процессе игры).

  2. По количеству стратегий: а) конечные игры; б) бесконечные

игры. 4. По составу игроков: а) бескоалиционные игры; б) коалиционные игры.

Типы стратегий

Чистая стратегия дает полную определенность, каким образом игрок продолжит игру. В частности она определяет результат для каждого возможного выбора, который игроку может придется сделать. Пространством стратегий называют множество всех чистых стратегий доступных данному игроку. Смешанная стратегия является указанием вероятности каждой чистой

стратегии. Это означает, что игрок выбирает одну из чистых стратегий, в соответствии с вероятностями, заданными смешанной стратегией. Выбор осуществляется перед началом каждой игры и не меняется до ее конца. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, когда вероятность данной чистой стратегии одна и у всех других нулевая вероятность.

Основное содержание современной теории игр — это так называемая матричная форма игры. В этом случае считается , что каждый игрок делает всего лишь один ход, причем все ходы делаются одновременно. После этого каждому игроку выплачивается выигрыш (или берется выигрыш) в зависимости от того, какие ходы были сделаны им и другими игроками.

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока.

Исследование в матричных играх начинается с нахождения ее седловой точки в чистых стратегиях. Если матричная игра имеет седловую точку

Применение теории игр в инвестиционных решениях вариант (3, 4, 2)

Рассмотрим теорию игр на конкретном примере: У инвестора имеется 100 млн. д.е. и 5 вариантов их вложения. Используя теорию игр, необходимо найти оптимальное вложение инвестиций с целью получения максимального дохода Показатели ожидаемого дохода:

Таблица 1

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *