Чистые кредитовые обороты

Оборот по расчетному счету: понятие

Расчетный счет (чековый, текущий или «до востребования») является учетной записью о производимых операциях двух видов:

  • зачислениях средств, поступивших по перерасчету или наличностью от клиентов, контрагентов или учредителей (дебет);
  • выплатах за сырье или товар поставщикам; заработной платы сотрудникам; налогов, сборов, отчислений и взысканий в ФНС, ПФР, ФСС (кредит).

В самом общем виде обороты по расчетному счету – это совокупность всех транзакций, произведенных за определенный период (день, месяц, квартал, полугодие, год) и отображенных в банковской выписке. С точки зрения владельца р/с он может быть разделен на две составляющие:

  • дебетовый оборот – система приходных операций;
  • кредитовый оборот – расходных.

Все это просто и очевидно до того момента, пока клиент впервые не получил на руки банковскую выписку, в которой оплата налога фигурирует по дебету, а зачисление финансовой помощи от учредителя – по кредиту. Кроме того, по результатам банковского дня виден отрицательный остаток на счете.

Нужно уяснить, что выписка – это документ бухучета финансового учреждения, а не владельца р/с. Поскольку банк принял во владение чужие средства, формально он становится должником клиента. Соответственно, поступление средств на счет увеличивает его долг (кредит банка), а перечисление денег вовне, наоборот – уменьшает (дебет банка).

Чистые показатели

Очищенные обороты по расчетному счету – это:

  • показатель финансового благосостояния и результатов деятельности предприятия;
  • слово из бухгалтерского сленга, которое не применяется ни в законодательных актах, ни в договорах.

Не углубляясь в терминологию и финансовые премудрости, можно считать, что обороты по р/с – показатель активности, а чистые обороты – показатель успешности предприятия. По этой причине последняя категория активно используются:

  • аудиторами для анализа работы учреждения;
  • органами ФНС в целях контроля над уплатой налогов;
  • банками для установления платежеспособности соискателя при получении кредита.

Обороты по р/с определяются как разница между поступлениями и расходами за интересующий аналитика период (от одного дня до нескольких лет). В свою очередь, при расчете очищенных оборотов принимаются во внимание не все поступления, а только те, которые прямо связаны с операционной хозяйственной деятельностью. Не подлежат учету:

  • поступления на р/с любых заимствованных средств: кредитов, финансовой помощи как подлежащей, так и не подлежащей возврату;
  • выручка от продажи акций, векселей и других собственных ценных бумаг;
  • возвращение ошибочно перечисленных денег;
  • пополнение текущего со счетов, открытых фирмой в других финансовых учреждениях.

Чистые обороты по расчетному счету организации отображают ее валовой доход и позволяют:

  • произвести глубинный анализ хозяйственной деятельности;
  • соизмерить отчетные данные о поступлениях от реализации товара с реальной выручкой;
  • установить сегмент, занимаемый субъектом хозяйствования на определенном рынке.

Требования для предоставления овердрафта

Этот показатель важен для предоставления овердрафта. Относительно него большинство банков выдвигают такие требования:

  • р/с открыт и активен 3 и более месяца;
  • сумма овердрафта меньше или равна 30% очищенного среднемесячного дебетового оборота по расчетному счету за последние 3 месяца;
  • финансовое положение собственника р/с не хуже, чем среднее.

Могут ли кредитовые обороты по расчетному счету превышать дебетовые

С оборотами по р/с тесно связана категория «сальдо» – остаток средств на счету по окончании банковского дня:

  • если оно положительное – значит, дебетовый оборот превысил кредитовый;
  • если отрицательное – то наоборот, но это требует отдельного пояснения.

Классический договор обслуживания учетной записи в банке предполагает наличие исключительно собственных средств. Такая ситуация:

  • аналогична депозиту, с той разницей, что к деньгам всегда есть доступ;
  • противоположна кредиту, где клиент пользуется заимствованными средствами.

Таким образом, договор банковского счета в чистом виде не предполагает возможности отрицательного сальдо. Если денег нет, банк просто не выполняет поручения клиента о произведении выплат и формирует из них некую последовательность. Платежки и другие распорядительные бумаги попадают в картотеку и выполняются на основании предписаний ст. 855 ГК РФ в такой очередности:

  • требования судебных приставов о компенсации ущерба жизни и здоровью граждан, взыскания алиментов;
  • документы ФССП относительно выплаты заработной платы, выходной помощи уволенным, по авторским договорам;
  • текущая заработная плата, отчисления в ПФР, ФСС, фонд занятости населения;
  • налоги и сборы;
  • иные исполнительные бумаги и распорядительные документы владельца р/с.

Во избежание такой ситуации банк и клиент могут договориться о сочетании в одной сделке элементов двух банковских договоров: кредитного и об обслуживании р/с. При этом по текущему счету устанавливается кредитный лимит, именуемый овердрафтом. В случае временного отсутствия собственных средств, предприятие рассчитывается кредитными. Это выгодно, например, продавцу товара, которому нужно рассчитаться с поставщиком немедленно, тогда как средства от покупателей он получит позже.

В такой ситуации кредитовые обороты по расчетному счету могут существенно превышать дебетовые. Как уже было сказано, овердрафт лимитирован. Кроме того, за пользование средствами банка владелец счета выплачивает ему оговоренное вознаграждение.

Как рассчитывать кредитные лимиты

Устанавливая суммы допустимой задолженности для каждого покупателя, следует руководствоваться информацией о его надежности (подробнее о том, как можно оперативно оценить кредитоспособность потенциального клиента, см. Как оценить кредитоспособность компании-покупателя), данными о среднемесячном объеме продаж, периодичности отгрузок, а также рекомендациями коммерческой службы (при определении того, какая доля продукции будет отгружаться контрагенту в кредит). Период анализа – квартал, полгода, год и более. Минимальный шаг анализа в предлагаемом инструменте – один месяц (количество отгрузок в рамках месяца во внимание не принимается). Для расчета используется следующая формула, применение которой позволяет оценивать допустимый размер дебиторской задолженности по каждому клиенту исходя из показателей продаж по нему (фактических или планируемых)

Формула. Расчет кредитного лимита покупателя

Используемые обозначения Расшифровка Единицы измерения Источник данных
Кредитный лимит руб. Результат расчета
Среднемесячный объем продаж за период руб. План продаж по согласованию с покупателем, данные управленческого учета за прошлые периоды
Периодичность отгрузок (в среднем за период). Применяется, если отгрузки реже раза в месяц. Если раз в месяц и чаще, периодичность равна 1 ед. Определяется как отношение количества месяцев, в которые проводились отгрузки, к количеству месяцев в рассматриваемом периоде на основе данных плана продаж и управленческого учета
Планируемый темп прироста продаж % План продаж
Отсрочка платежа мес. Рассчитывается как отсрочка платежа в днях, установленная для конкретного покупателя, деленная на 30 дней
Доля продаж на условии отсрочки платежа % Данные коммерческой службы

Определив максимально допустимый кредитный лимит по покупателю, целесообразно требовать его обеспечения – в форме поручительства, залога и т. п. (подробнее о способах застраховаться от риска неплатежа со стороны клиентов см. Как избежать проблем с погашением дебиторской задолженности).

Вопрос: Что нужно учесть при расчете кредитного лимита покупателя

Сергей Воробьев , финансовый директор ООО «Рельеф-Центр»

В условиях жесткой конкуренции поставщик зачастую вынужден предоставлять отсрочку платежа покупателям. Чем слабее его позиции на рынке, тем больше должна быть отсрочка и выше лимит дебиторской задолженности. На условия оплаты влияет также структура и состав покупателей. Если, например, клиентов несколько тысяч, и доля каждого из них невелика, то продавец может устанавливать относительно небольшие кредитные лимиты. Если же среди них есть крупные розничные сети, то они изначально требуют более длительных отсрочек и существенных кредитных лимитов, в том числе и из-за объемов закупки. При этом продавец должен помнить, что если он предоставит большой кредитный лимит покупателю, который впоследствии не сможет вернуть долг, то он рискует обанкротиться, так как в этом случае будет проблематично исполнить обязательства перед своими контрагентами.

При определении кредитного лимита покупателя нужно учитывать:

  • объем продаж данного покупателя в месяц;
  • планируемый для него период отсрочки;
  • максимальный кредитный лимит на клиента в соответствии с политикой управления рисками, принятой в компании;
  • обеспечение по конкретной сделке – залог, банковская гарантия и т. п.;
  • кредитную историю данного покупателя (сколько длится с ним сотрудничество, есть ли просроченные платежи и по каким причинам, выполняет ли клиент свои обещания по оплатам при наличии просроченной дебиторской задолженности);
  • отзывы компаний, работавших с потенциальным покупателем;
  • отчетность клиента за текущий и предыдущий периоды и ее качество;
  • маржинальность товара, который приобретает покупатель;
  • значение конкретного покупателя для деятельности поставщика (стратегически важный клиент или нет);
  • дальность логистики (сколько времени идет товар до клиента) – скорее всего, на это время придется увеличить отсрочку платежа.

Предлагаемая методика определения кредитных лимитов может использоваться в двух случаях:

  • для новых клиентов. В этом случае в расчетах участвуют плановые данные;
  • для покупателей, с которыми компания уже работает. При этом должно быть установлено, с какой периодичностью пересматриваются кредитные лимиты. Например, условия оплаты могут согласовываться в привязке к сезону. В период низкого спроса нужно поддерживать объем продаж, в связи с чем лимиты и отсрочки могут быть увеличены. А перед началом высокого сезона, наоборот, их можно уменьшить, чтобы обеспечить оборачиваемость дебиторской задолженности. Для компаний, у которых нет ярко выраженной сезонности продаж, периодичность согласования лимитов может быть любой, например, раз в квартал или раз в полгода. В некоторых случаях максимально допустимые суммы задолженности покупателей могут пересматриваться индивидуально, например, в случае резкого роста (падения) объема продаж или при разовом заказе на большую сумму.

Инициатором пересмотра кредитных лимитов (или предоставления их новым покупателям) выступает, как правило, коммерческая служба. Предлагаемые ее руководителем условия продаж согласовываются с финансовой службой, юристами компании (они оценивают пакет документов по новым клиентам) и генеральным директором.

Как составить отчет о предоставляемых кредитных лимитах

Отслеживать объемы закупок, периодичность отгрузок по каждому покупателю, а также выявлять необходимость в пересмотре предоставляемых кредитных лимитов и отсрочек платежа поможет отчет «Реестр кредитных лимитов покупателей», форма которого представлена в таблице.

В первом столбце указывается наименование клиента. При необходимости (например, если есть похожие названия) можно привести и дополнительную информацию по нему – ИНН, регион или город, номер договора.

Во втором столбце проставляется код признака, по которому можно отслеживать изменения кредитного лимита. Варианты могут быть, например, такими:

  • 1 – лимит ранее действующий, остается без изменений;
  • 2 – лимит ранее действующий, который предполагается уменьшить;
  • 3 – лимит ранее действующий, который предполагается отменить;
  • 4 – лимит ранее действующий, который предполагается увеличить;
  • 5 – лимит новый, который предлагается к утверждению.

Цель увеличения лимитов, как правило, – удержание клиентов, увеличение объемов продаж. Лимит остается без изменений в случае, когда ситуация с покупателем стабильная – закупки соответствуют плану, задолженность погашается в срок. Причиной снижения лимитов может служить падение продаж, невыполнение клиентом ранее взятых на себя обязательств по плану закупок либо желание покупателя уменьшить отсрочку при снижении цены.

Кредитный лимит, который предлагается клиенту, должен подкрепляться объемом продаж (столбец 9), который служит основой для расчетов (см. формулу. Расчет кредитного лимита покупателя). Информация по объему продаж берется из данных управленческого учета компании за прошлые периоды. Длительность периода устанавливается индивидуально, на основании данных статистики определяется среднемесячный объем продаж. Для новых клиентов (по согласованию с ними) можно использовать плановый объем продаж.

Для расчета лимита дебиторской задолженности также важен показатель периодичности отгрузок (столбец 10), отражающий регулярность закупок по каждому клиенту. По сути это поправочный коэффициент для показателя среднемесячных продаж, который важно учитывать при расчете лимита. Например, при анализе за шесть месяцев видно, что покупатель закупает продукцию нерегулярно – в среднем раз в три месяца (т. е. в двух месяцах из шести). Соответственно, поправочный коэффициент равен 0,5 (3 мес. : 6 мес.).

Отсрочка платежа в днях показывает, на сколько дней покупателю дана отсрочка по оплате приобретенной продукции. Эта информация, как правило, отражается в договоре купли-продажи (подробнее о том, как рассчитать период отсрочки платежа для покупателя, см. Как определить срок, на который предоставить отсрочку платежа). В столбце 11 таблицы представлена отсрочка платежа, соответствующая текущему лимиту, указанному в столбце 18; в столбце 12 – отсрочка платежа для нового лимита, указанного в столбце 19; если пересматриваться лимиты не будут, то данные 11 и 12 столбцов совпадают. Показатель отсрочки платежа в месяцах (коэффициент кредитования), представленный в столбце 15, непосредственно влияет на расчет лимита дебиторской задолженности и его изменение. Например, при отсрочке 30 дней коэффициент кредитования равен 1 (30 дн. : 30 дн.), это означает, что дебиторская задолженность не может превышать месячного объема продаж; при отсрочке 21 день показатель отсрочки в месяцах равен 0,7 (21 дн. : 30 дн.), то есть задолженность покупателя не должна превышать 70 процентов от среднемесячного объема продаж.

Плановый темп прироста продаж (столбец 14) используется в целях корректировки среднемесячных продаж за прошлый период. На его основе рассчитывается плановый среднемесячный объем продаж (который по сути служит основой для расчета лимита дебиторской задолженности).

Последний показатель, необходимый для расчета кредитного лимита покупателя, – доля продаж на условии отсрочки платежа (процент кредитования) (столбец 16). Этот коэффициент отражает условия оплаты. Например, согласно договору отсрочка дается покупателю на все 100 процентов продаж, или 50 на 50, что означает, что 50 процентов покупатель оплачивает по факту, а 50 процентов – с отсрочкой и т. п. Такая практика встречается редко, обычно используется система либо полной предоплаты, либо 100-процентной оплаты по факту. Но если система частичной предоплаты практикуется, то пренебрегать данным показателем нельзя, так как, например, при системе 50 на 50 лимит дебиторской задолженности должен быть ниже в два раза (т. к. кредитуется только 50 процентов от суммы отгрузки).

На основании перечисленных показателей по формуле расчетно определяется новый лимит дебиторской задолженности (столбец 17). Этот норматив для удобства использования округляется до целых чисел – например, до 10 000, в зависимости от масштабов компании (столбец 19). Лимит желательно отражать в динамике, то есть показать, как он изменился по сравнению с действующим ранее (столбец 20).

Полученный итог показывает общую возможную сумму дебиторской задолженности (лимит). Другие средневзвешенные общие итоги по столбцам показывают общую картину по продажам с отсрочкой платежа (например, средняя отсрочка в днях, коэффициент кредитования и т. д.). Оценка в динамике показывает, в какую сторону и на сколько меняется общий лимит дебиторской задолженности, за счет каких факторов и по каким клиентам.

Пример пересмотра лимитов дебиторской задолженности по нескольким покупателям на основании реестра кредитных лимитов

Андрей Бородин , директор по экономике и финансам московского филиала ООО «ТДЛ Текстиль»

Рассмотрим ситуацию с клиентом 5 (см. таблицу. Реестр кредитных лимитов покупателей). Покупатель не оправдал ранее выделенный ему лимит 120 тыс. руб., то есть продажи не были достаточными, чтобы выйти на предложенный уровень. Соответственно, так как на данном этапе рост продаж не предполагается (нет соответствующих договоренностей), лимит снижается до реального уровня: расчетный показатель составляет 49 826 руб. (21 354 руб. : 0,3 раз/мес. × 100% × 0,7 мес. × 100%). Окончательное решение по лимиту для данного покупателя – 45 000 руб. Во втором столбце указывается признак 2 – лимит, который предполагается уменьшить.

У клиента 7 динамика продаж положительная, что подразумевает рост продаж (клиент развивается). Соответственно, требуется увеличение лимита, чтобы коммерческая служба могла позволить себе продавать большие объемы при разрешенной большой дебиторской задолженности. Предложение, подкрепленное расчетами, – увеличить лимит с 1500 тыс. руб. до 1870 тыс. руб., при расчетном значении 1870 тыс. руб. (1 069 987 руб. : 0,8 раз/мес. × (100% + 40%) × 1 мес. × 100%), окончательное решение – установить лимит, равный 1800 тыс. руб.

Таблица. Реестр кредитных лимитов покупателей (фрагмент)

Контрагент Признак изменения лимита Объем продаж, руб. Среднемесячный объем продаж за 6 мес., тыс. руб. Периодичность отгрузок (в среднем), раз/мес. Отсрочка, дней Плановый темп прироста продаж, %
(гр. 12: 30 дн.)
Отсрочка платежа, мес. (коэффициент кредитования) Доля продаж на условии отсрочки платежа, % Расчетный лимит дебиторской задолженности, руб.
(гр. 9 : гр. 10 × (100% + гр. 14) × гр. 15 × гр. 16)
Лимит дебиторской задолженности, руб. Максимальный объем продаж в месяц, руб.
(гр. 20 : гр. 15)
Январь 2017 Июнь 2017 Текущая Новая Изменение
(гр. 12 – гр. 11)
Текущий Новый Изменение
(гр. 19 – гр. 18)
Отклонение от расчетного лимита
(гр. 19 – гр. 17)
1 2 3 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Клиент 1 1 20 179 0,3 21 21 0 0 0,7 100 47 084 45 000 45 000 0 2623 64 286
Клиент 2 1 30 204 0,3 30 30 0 10 1,0 100 110 748 100 000 100 000 0 327 100 000
Клиент 3 1 140 116,00 46 440,00 94 048 1,0 30 30 0 70 1,0 50 79 941 80 000 80 000 0 60 80 000
Клиент 4 1 222 534,41 56 238,18 180 979 0,8 30 30 0 50 1,0 50 169 668 165 000 165 000 0 2119 165 000
Клиент 5 2 105 538,87 21 354 0,3 21 21 0 0 0,7 100 49 826 120 000 45 000 -75 000 158 64 286
Клиент 6 3 46 291,00 20 966 0,5 30 0 -30 30 0,0 100 0 60 000 0 -60 000 0
Клиент 7 4 41 666,45 2 832 483,15 1 069 987 0,8 30 30 0 40 1,0 100 1 872 477 1 500 000 1 800 000 300 000 2422 1 800 000

Модели определения лимита кредитования

Актуальность проблемы расчета лимита кредитования для банков и клиентов
Банки по-разному подходят к вопросу определения лимитов, но обычно кредитные лимиты подразделяются на следующие группы: лимиты по регионам (странам); отраслевые лимиты; лимиты кредитования одного заемщика. В рамках настоящей статьи основное внимание будет уделено последней группе.
Вопрос определения лимитов кредитования является одним из главных вопросов кредитного процесса. Отсутствие универсальной методики оценки величины кредитного лимита во многом связано с тем, что до сих пор не выработан общепринятый подход к решению этой задачи. Как правило, расчет лимита кредитования потенциального заемщика является итогом анализа финансового состояния клиента, и его основная идея заключается в том, что чем лучше финансовое состояние какого-либо заемщика, тем бльшую сумму кредита он может получить. На практике же так получается не всегда, особенно если говорить про МСБ и про достоверность отчетности, представляемой клиентами данного сегмента.
Чрезмерно завышенный лимит кредитования может обернуться дефолтом заемщика и, как результат, появлением проблемного актива в портфеле банка. Клиент, завысив свои ожидания намеренно или случайно, просто не сможет своевременно исполнять все взятые им на себя обязательства, начнет «перехватывать» деньги на стороне с целью своевременно выполнить обязательства перед банком, заметно увеличивая тем самым свою долговую нагрузку. Кроме этого, в случае невыполнения части своих обязательств перед банком у клиента возникают штрафы, пени, неустойки, необходимость «усиления» залога, а следовательно, расходы на оценку и страховку, и в итоге все это влечет за собой ухудшение кредитной истории. Возможен вариант, когда клиент, выбирая между оплатой поставщику или выполнением своих обязательств перед банком, делает выбор в пользу последнего, тогда неминуемыми становятся ухудшение договорных отношений с контрагентом и повышение репутационных рисков такого заемщика. С другой стороны, заниженный лимит кредитования приведет к снижению рентабельности бизнеса клиента, замедлению темпов его развития и так называемым издержкам упущенной выгоды, или альтернативным издержкам.
Фактически определение лимита кредитования можно рассматривать как один из инструментов управления кредитным портфелем. Целью установления лимита кредитования является обеспечение оптимального уровня рисков и ускорение принятия решения по отдельным кредитным операциям в рамках установленного лимита.

Существующие методики расчета лимита кредитования
Существует множество различных частных и общих, традиционных и нетрадиционных методик расчета кредитного лимита. Каждый банк, как правило, использует одну из общеизвестных методик либо разрабатывает свою собственную, исходя из имеющихся внутрибанковских методик оценки рисков, ликвидности, стратегии развития и т.п. Большинство существующих подходов являются рамочными, приближенными и представляют собой скорее не обоснованные расчетные оценки, а только экспертные ориентиры. Наиболее целесообразным видится рассмотрение лимита возможного кредитования на основе экспертной оценки финансовых показателей, оценки реальных денежных потоков предприятия для возможного погашения краткосрочной задолженности, оценки финансового положения и, конечно, объема предлагаемого обеспечения (в случае если таковое требуется).
Функцию расчета лимита кредитования можно представить в виде формулы (1). Функция min () возвращает минимальное значение из множества переданных значений.

ЛК = min (ОБ, ВО, ФП, МВЛ), (1)

где ЛК — лимит кредитования;
ОБ — обеспеченность ссуды ликвидным обеспечением;
ВО — возможность обслуживания кредита;
ФП — финансовое положение;
МВЛ — максимально возможный лимит кредитования в рамках конкретного кредитного продукта.

Модель расчета лимита кредитования
Рассмотрим применение данной модели на примере.

Пример 1
Компания А обращается в Банк за кредитом на пополнение оборотных средств в размере 5000 тыс. руб. При этом в качестве залога клиент предлагает недвижимое имущество залоговой стоимостью (согласно отчету об оценке независимой оценочной компании с применением соответствующего дисконта) 4500 тыс. руб. Финансовое положение клиента оценивается не хуже чем «среднее». Максимально возможный лимит в рамках предоставления кредита на пополнение оборотных средств — 25 000 тыс. руб.
Таким образом, если опираться только на полученные результаты, согласно формуле (1) лимит кредитования не будет превышать 4500 тыс. руб.
В случае если кредит необходим:
1) в виде овердрафта, лимит кредитования рассчитывается в том числе исходя из доступного лимита овердрафта (30–50% от «чистых» кредитовых оборотов по р/с клиента в банке-кредиторе или другом банке). При этом величина лимита, как правило, не фиксирована и подвержена ежемесячному пересчету исходя из фактической величины оборотов за предшествующие три месяца;

Пример 2
Индивидуальный предприниматель Семенов К.А. в апреле 2012 г. обращается в Банк с просьбой выдать овердрафт в размере 4000 тыс. руб., при этом расчетный счет у ИП открыт не в банке-кредиторе.
Расчет лимита (табл. 1) будет проводиться исходя из данных о чистых среднемесячных оборотах за последние шесть месяцев в другом банке. При этом срок установления лимита, как правило, не превышает трех месяцев. Доступный лимит овердрафта от оборотов в другом банке может составлять 25–35% (для расчетного примера принята величина 30%).

Таблица 1

Из приведенных в табл. 1 расчетов видно, что запрошенный лимит овердрафта в 4000 тыс. руб. не будет согласован и сумма будет снижена до 3000 тыс. руб. При этом данный лимит будет установлен на весь срок действия овердрафта без ежемесячного пересчета. Происходит так потому, что при открытии клиенту овердрафта от оборотов в другом банке на короткий срок с ним оговаривается перевод оборотов в банк-кредитор на период действия согласованного лимита.
По истечении срока действия кредитного договора ИП Семенов К.А. вновь обращается в банк с просьбой оформить лимит по овердрафту в размере 4000 тыс. руб.
Кредитный инспектор осуществляет расчет (табл. 2). При этом берутся в расчет «чистые» кредитовые обороты по ИП Семенову К.А. в банке-кредиторе за последние три месяца. Срок такого лимита, как правило, 6–12 месяцев. Доступный лимит овердрафта в данном случае будет составлять 40–50% (для расчетного примера принята величина 40%).

Таблица 2

Приведенный в табл. 2 расчет показал, что доступный лимит овердрафта превышает запрошенный клиентом. Таким образом, при выполнении прочих условий клиенту будет установлен лимит задолженности по овердрафту в размере 4000 тыс. руб.

2) на обеспечение исполнения государственного (муниципального) контракта, обеспечение участия в конкурсе на право заключения государственного (муниципального) контракта, непосредственно на исполнение государственного (муниципального) контракта, лимит кредитования будет определяться, исходя из требований того или иного кредитного продукта, суммы обеспечения участия/исполнения государственного контракта, указанного в конкурсной документации/контракте, ожидаемых поступлений по заключенным государственным контрактам, авансирования, суммы самого контракта и т.п. При этом кредитный эксперт должен внимательнейшим образом ознакомиться с требованиями по проведению конкурса (конкурсной документацией), убедиться в необходимости внесения денежного депозита в качестве обеспечения заявки заемщика, а также ознакомиться с условиями заключения государственного контракта в случае выигрыша конкурса, условиями его дальнейшего исполнения, требованиями по обеспечению исполнения контракта, наличию авансирования, условиям оплаты;
3) на инвестиционные цели, кредитный лимит рассчитывается исходя из расчета инвестиционного проекта, требуемой суммы вложений, окупаемости проекта, анализа денежного потока на период кредитования и т.п. Необходимо отметить, что инвестиционные кредиты предоставляются клиентам с устойчивым финансовым положением, имеющим стабильные объемы производства и продаж, ведущим прибыльную деятельность (не связанную с реализацией инвестиционного проекта), занимающим устойчивое положение на рынке, имеющим положительную кредитную историю и успешный опыт реализации инвестиционных проектов.

Описание основных составляющих методики расчета лимита
Остановимся более подробно на двух параметрах формулы (1): возможности обслуживания кредита и финансовом положении.
При определении лимита кредитования как необходимой составляющей кредитного анализа ответственный сотрудник банка должен определить не только текущее финансовое состояние заемщика, но и возможность заемщика в дальнейшем отвечать по своим обязательствам. Определяются источники погашения обязательств по выдаваемому кредиту (процентов, основного долга и иных платежей), общая долговая нагрузка как по имеющимся кредитам/займам, так и по вновь выдаваемому кредиту и ее отношение к свободным ресурсам заемщика.
Таким образом, возможность обслуживания кредита — это комплексный анализ деятельности заемщика за предшествующий период (как правило, 6–12 месяцев) и прогноз на период кредитования исходя из известной информации о планах развития компании, целевого использования кредитных средств, развития отрасли, где присутствует бизнес потенциального заемщика, наличия сезонности и т.п. Для целей такого анализа необходимо построение так называемого cash flow (для инвестиционных кредитов, кредитов на развитие бизнеса). В случае если определяется лимит кредитования в форме овердрафта или цели кредитования связаны с заключением/исполнением государственного контракта или пополнением оборотных средств, cash flow, как правило, не заполняется и возможность обслуживания кредита определяется на основании расчета среднемесячной величины чистых кредитовых оборотов, реестра заключенных контрактов и ожидаемых по ним поступлений, среднемесячной величины выручки и чистой прибыли и т.п.
Для погашения процентов по кредиту используются свободные денежные средства, остающиеся в распоряжении заемщика после осуществления всех расходов по деятельности (как включаемых в себестоимость, так и не включаемых в ее состав). Основной долг, как правило, погашается из оборота денежных средств и не входит в стоимость товара/работ/услуг. В этой связи являются недопустимыми следующие ситуации: свободной чистой прибыли за проанализированный предшествующий период времени недостаточно для погашения процентов по выдаваемому кредиту, а при составлении прогнозного cash flow остаток денежных средств после оплаты всех ежемесячных обязательств по кредиту (основной долг, проценты, комиссии и т.д.) получается отрицательным.
При определении лимитов кредитования на сроки до одного года целесообразно рассматривать динамику чистой прибыли за анализируемый период и за аналогичный период прошлого года. Наличие убытков снижает возможность обслуживания кредитных обязательств и уменьшает расчетный кредитный лимит, так как показывает наличие чистого денежного оттока.
Анализ финансового положения подразумевает расчет финансовых коэффициентов, горизонтальный и вертикальный анализ бухгалтерской отчетности клиента за предшествующие дате обращения за кредитом периоды (от года до 6 месяцев). Набор финансовых коэффициентов для модели оценки финансового положения индивидуален для каждого банка и включается в соответствующую внутрибанковскую систему оценки, разработанную с учетом требований регулятора — Банка России.
Как отмечалось выше, банки используют различные методы определения лимитов кредитования одного заемщика. Существует два основных вида лимитов кредитования одного заемщика, используемых на практике:
1) некоторые банки предпочитают устанавливать лимиты в зависимости от вида предоставляемых клиенту услуг. В частности, банк может открывать для клиента кредитные линии с определенными лимитами кредитования по отдельным видам деятельности: по операциям на денежном рынке, по операциям с иностранной валютой, по свопам и опционам. Когда для каждого вида деятельности определяются отдельные лимиты, часто вводится система перераспределения лимитов между операционными подразделениями банка. Такая система дает банку возможность продолжать кредитные операции в тех случаях, когда отдельные операционные подразделения исчерпали кредитные лимиты, но общий лимит по подразделениям еще не выбран;
2) другие банки устанавливают совокупный лимит кредитования одного заемщика, в рамках которого клиенту может быть предоставлено несколько кредитных продуктов в различных видах кредитования. Технология, применяемая некоторыми банками, заключается в том, чтобы установить как основной лимит кредитования одного заемщика, так и предел превышения основного лимита, используемый в экстренных случаях при условии соблюдения заемщиком контрольных показателей кредитного договора. То есть решением кредитного комитета может быть установлен лимит кредитования на одного заемщика в сумме N и предусмотрена возможность увеличения данного лимита до суммы M в случае предоставления дополнительного обеспечения, в случае увеличения оборотов по расчетному счету, выполнения прочих условий.
Отметим, что вне зависимости от вида устанавливаемых лимитов кредитования механизм их определения является унифицированным: прежде чем принимать решение об установлении лимита кредитования, следует оценить основные факторы риска с применением количественных методов оценки (регрессионных моделей). После этого на основании группировки анализируемых показателей в порядке убывания можно рассчитать лимит кредитования как процент от собственного капитала, объема кредитного портфеля или как норматив абсолютных предельных величин для каждой группы конкретных заемщиков.

Выводы
Приведенная в настоящей статье модель расчета лимита кредитования крайне проста, но, как показал опрос экспертов, именно такого рода модели используются в большинстве банков. С целью повышения эффективности модель расчета лимита кредитования может быть дополнена вероятностной моделью наступления дефолта заемщика. Так, в случае если вероятность дефолта потенциального заемщика превышает допустимый для банка уровень, лимит кредитования может быть снижен до нуля либо сокращен. Кроме этого, при наличии в банке соответствующих внутрибанковских моделей возможно установление лимита кредитования, в том числе исходя из кредитного рейтинга заемщика. Но в этом случае в процессе установления лимита кредитования для «старого» заемщика необходимо будет осуществлять расчет матриц изменения кредитного рейтинга, которые оценивают вероятность изменения класса кредитоспособности с течением времени. Построение таких матриц российскими банками позволило бы не только качественно повысить уровень оценки кредитоспособности заемщиков, привести нормы внутрибанковского анализа в соответствие с международными, но и получить более адекватную оценку финансового положения заемщика и оценивать его реальные возможности.
Таким образом, разработка модели расчета лимита кредитования при выдаче кредитов — процесс необходимый, и чем более ответственно банки будут подходить к данной проблеме, тем заметнее будет снижаться вероятность дефолта заемщиков из-за неверного — завышенного или заниженного — расчета лимита предоставления кредитных средств потенциальным и действующим заемщикам.

Предел функции

x {\displaystyle x} sin ⁡ x x {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983

Хотя функция sin ⁡ x x {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} в нуле не определена, когда x {\displaystyle x} приближается к нулю, то её значение становится сколь угодно близко к 1 в окрестности нуля, иными словами — предел функции в нуле равен 1.

У этого термина существуют и другие значения, см. Предел.График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L {\displaystyle L} .

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т. н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Определения

Рассмотрим функцию f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} , определённую на некотором множестве X {\displaystyle X} , которое имеет предельную точку x 0 {\displaystyle x_{0}} (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение A {\displaystyle A} называется пределом (предельным значением) функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} , если для любой последовательности точек { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} , сходящейся к x 0 {\displaystyle x_{0}} , но не содержащей x 0 {\displaystyle x_{0}} в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности x 0 {\displaystyle x_{0}} ), последовательность значений функции { f ( x n ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} сходится к A {\displaystyle A} .

Предел функции по Коши

Значение A {\displaystyle A} называется пределом (предельным значением) функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} , если для любого наперёд взятого положительного числа ε {\displaystyle \varepsilon } найдётся отвечающее ему положительное число δ = δ ( ε ) {\displaystyle \delta =\delta \left(\varepsilon \right)} такое, что для всех аргументов x {\displaystyle x} , удовлетворяющих условию 0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta } , выполняется неравенство: | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon } .

lim x → x 0 f ( x ) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ ( ε ) > 0 : ∀ x 0 < | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0~\colon ~\forall x~0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }

Окрестностное определение предела по Коши

Значение A {\displaystyle A} называется пределом (предельным значением) функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} , если для любой окрестности O ( A ) {\displaystyle O\left(A\right)} точки A {\displaystyle A} существует проколотая окрестность O ˙ ⁡ ( x 0 ) {\displaystyle \mathop {\dot {O}} \left(x_{0}\right)} точки x 0 {\displaystyle x_{0}} такая, что образ этой окрестности f ( O ˙ ( x 0 ) ) {\displaystyle f\left({\mathop {\dot {O}} }\left(x_{0}\right)\right)} лежит в O ( A ) {\displaystyle O\left(A\right)} . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

lim x → x 0 f ( x ) = A ⇔ ∀ O ( A ) ∃ O ˙ ( x 0 ) : f ( O ˙ ( x 0 ) ) ⊂ O ( A ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall O\left(A\right)~\exists {\mathop {\dot {O}} }\left(x_{0}\right)\colon f\left({\mathop {\dot {O}} }\left(x_{0}\right)\right)\subset O\left(A\right)}

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть B {\displaystyle {\mathcal {B}}} — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

  • число A {\displaystyle A} называется пределом функции по (при) базе B {\displaystyle {\mathcal {B}}} , если для всякого ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} найдётся такой элемент B {\displaystyle B} базы, что для любого x ∈ B {\displaystyle x\in B} выполнено | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon } .

Если a {\displaystyle a} — предельная точка множества E {\displaystyle E} , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E {\displaystyle E} не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a {\displaystyle a} . Эта база имеет специальное обозначение » x → a , x ∈ E {\displaystyle x\to a,x\in E} » и читается «при x {\displaystyle x} , стремящемся к a {\displaystyle a} по множеству E {\displaystyle E} «. Если область определения функции f {\displaystyle f} совпадает с R {\displaystyle \mathbb {R} } , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто » x → a {\displaystyle x\to a} » и читается «при x {\displaystyle x} , стремящемся к a {\displaystyle a} «.

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

Соответственно этому вводятся две базы:

  • » x → a , x ∈ E a − {\displaystyle x\to a,x\in E_{a}^{-}} «, которая коротко обозначается в виде » x → a − , x ∈ E {\displaystyle x\to a-,x\in E} » или ещё проще » x → a − {\displaystyle x\to a-} «;
  • » x → a , x ∈ E a + {\displaystyle x\to a,x\in E_{a}^{+}} «, которая коротко обозначается в виде » x → a + , x ∈ E {\displaystyle x\to a+,x\in E} » или ещё проще » x → a + {\displaystyle x\to a+} «.

Эквивалентность определений

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны. Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

Вариации и обобщения

Односторонний предел

Основная статья: Односторонний предел

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра

Основная статья: Предел вдоль фильтра

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне

  • Пусть числовая функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} задана на множестве X {\displaystyle X} , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного δ {\displaystyle \delta } в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка {\displaystyle \left} . В этом случае число A {\displaystyle A} называется пределом функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках { f ( x n ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} сходится к числу A {\displaystyle A} . lim x → ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ { x n } n = 1 ∞ : lim n → ∞ x n = ∞ ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = A {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)=A}
  • Пусть числовая функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} задана на множестве X {\displaystyle X} , в котором для любого числа δ {\displaystyle \delta } найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число A {\displaystyle A} называется пределом функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках { f ( x n ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} сходится к числу A {\displaystyle A} . lim x → + ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ { x n } n = 1 ∞ : ( ∀ k ∈ N : x k > 0 ) ∧ lim n → ∞ x n = ∞ ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = A {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \colon x_{k}>0\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)=A}
  • Пусть числовая функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} задана на множестве X {\displaystyle X} , в котором для любого числа δ {\displaystyle \delta } найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число A {\displaystyle A} называется пределом функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках { f ( x n ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} сходится к числу A {\displaystyle A} . lim x → − ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ { x n } n = 1 ∞ : ( ∀ k ∈ N : x k < 0 ) ∧ lim n → ∞ x n = ∞ ⇒ lim n → ∞ f ( x n ) = A {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \colon x_{k}<0\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)=A}

Предел на бесконечности по Коши

  • Пусть числовая функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} задана на множестве X {\displaystyle X} , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного δ {\displaystyle \delta } в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка {\displaystyle \left} . В этом случае число A {\displaystyle A} называется пределом функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} на бесконечности, если для произвольного положительного числа ε {\displaystyle \varepsilon } отыщется отвечающее ему положительное число δ {\displaystyle \delta } такое, что для всех точек, превышающих δ {\displaystyle \delta } по абсолютному значению, справедливо неравенство | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon } . lim x → ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ ( ε ) > 0 ∀ x ∈ X : | x | > δ ⇒ | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0~\forall x\in X\colon \left|x\right|>\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }
  • Пусть числовая функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} задана на множестве X {\displaystyle X} , в котором для любого числа δ {\displaystyle \delta } найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число A {\displaystyle A} называется пределом функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа ε {\displaystyle \varepsilon } отыщется отвечающее ему положительное число δ {\displaystyle \delta } такое, что для всех точек, лежащих правее δ {\displaystyle \delta } , справедливо неравенство | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon } . lim x → + ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ ( ε ) > 0 ∀ x ∈ X : x > δ ⇒ | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0~\forall x\in X\colon x>\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }
  • Пусть числовая функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} задана на множестве X {\displaystyle X} , в котором для любого числа δ {\displaystyle \delta } найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число A {\displaystyle A} называется пределом функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа ε {\displaystyle \varepsilon } отыщется отвечающее ему положительное число δ {\displaystyle \delta } такое, что для всех точек, лежащих левее ( − δ ) {\displaystyle \left(-\delta \right)} , справедливо неравенство | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon } . lim x → − ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ ( ε ) > 0 ∀ x ∈ X : x < − δ ⇒ | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0~\forall x\in X\colon x<-\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }

Окрестностное определение по Коши

Пусть функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} определена на множестве X {\displaystyle X} , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка A {\displaystyle A} называется пределом функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки A {\displaystyle A} .

lim x → ∞ f ( x ) = A ⇔ ∀ O ( A ) ∃ O ( 0 ) : f ( X ∖ O ( 0 ) ) ⊂ O ( A ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall O\left(A\right)~\exists O\left(0\right)\colon f\left(X\setminus O\left(0\right)\right)\subset O\left(A\right)}

Частичный предел

Для функции, как и для последовательности, можно ввести понятие частичного предела. Число l {\displaystyle l} называется частичным пределом функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} , если для какой-либо последовательности x n → x 0 , x n ≠ x 0 {\displaystyle x_{n}\to x_{0},x_{n}\neq x_{0}} справедливо равенство lim n → ∞ f ( x n ) = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=l} . Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} и обозначается lim ¯ x n → x 0 ⁡ f ( x ) {\displaystyle \varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x)} , наименьший из частичных пределов называется нижним пределом функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} и обозначается lim _ x n → x 0 ⁡ f ( x ) {\displaystyle \varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x)} . Для существования предела функции в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} необходимо и достаточно, чтобы lim _ x n → x 0 ⁡ f ( x ) = lim ¯ x n → x 0 ⁡ f ( x ) {\displaystyle \varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x)=\varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x)} .

Обозначения

Если в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} у функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} существует предел, равный A {\displaystyle A} , то говорят, что функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} стремится к A {\displaystyle A} при стремлении x {\displaystyle x} к x 0 {\displaystyle x_{0}} , и пишут одним из следующих способов:

  • lim x → x 0 f ( x ) = A {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f\left(x\right)=A} , или
  • f ( x ) → x → x 0 A {\displaystyle f\left(x\right){\xrightarrow{}}A} .

Если у функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} существует предел на бесконечности, равный A {\displaystyle A} , то говорят, что функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} стремится к A {\displaystyle A} при стремлении x {\displaystyle x} к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • lim x → ∞ f ( x ) = A {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A} , или
  • f ( x ) → x → ∞ A {\displaystyle f\left(x\right){\xrightarrow{}}A} .

Если у функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} существует предел на плюс бесконечности, равный A {\displaystyle A} , то говорят, что функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} стремится к A {\displaystyle A} при стремлении x {\displaystyle x} к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • lim x → + ∞ f ( x ) = A {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f\left(x\right)=A} , или
  • f ( x ) → x → + ∞ A {\displaystyle f\left(x\right){\xrightarrow{}}A} .

Если у функции f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} существует предел на минус бесконечности, равный A {\displaystyle A} , то говорят, что функция f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} стремится к A {\displaystyle A} при стремлении x {\displaystyle x} к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • lim x → − ∞ f ( x ) = A {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f\left(x\right)=A} , или
  • f ( x ) → x → − ∞ A {\displaystyle f\left(x\right){\xrightarrow{}}A} .

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны числовые функции f , g : M ⊂ R → R , {\displaystyle f,g:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,} и a ∈ M ′ . {\displaystyle a\in M’.} .

  • Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел. ( lim x → a f ( x ) = A 1 ) ∧ ( lim x → a f ( x ) = A 2 ) ⇒ ( A 1 = A 2 ) {\displaystyle \left(\lim _{x\to a}f\left(x\right)=A_{1}\right)\land \left(\lim _{x\to a}f\left(x\right)=A_{2}\right)\Rightarrow (A_{1}=A_{2})}

Доказательство

◂ {\displaystyle \blacktriangleleft } Доказательство методом от противного. Пусть существует lim x → a f ( x ) = A 1 {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{1}} и lim x → a f ( x ) = A 2 {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{2}} и A 1 ≠ A 2 {\displaystyle A_{1}\not =A_{2}} .

Предположим A 1 < A 2 {\displaystyle A_{1}<A_{2}} . Возьмём ε = A 2 − A 1 2 > 0 {\displaystyle \varepsilon ={\frac {A_{2}-A_{1}}{2}}>0} и запишем определения:

но тогда | A 2 − A 1 | = | ( A 2 − f ( x ) ) + ( f ( x ) − A 1 ) | ≤ | A 2 − f ( x ) | + | f ( x ) − A 1 | < 2 ε = A 2 − A 1 {\displaystyle |A_{2}-A_{1}|=|(A_{2}-f(x))+(f(x)-A_{1})|\leq |A_{2}-f(x)|+|f(x)-A_{1}|<2\varepsilon =A_{2}-A_{1}}

то есть | A 2 − A 1 | < A 2 − A 1 ⇒ {\displaystyle |A_{2}-A_{1}|<A_{2}-A_{1}\Rightarrow } Противоречие. Значит предел единственный. ▸ {\displaystyle \blacktriangleright }

  • Сходящаяся функция локально и никак иначе сохраняет знак. Более обще, ( lim x → a f ( x ) = A ) ∧ ( A > B ) ⇒ ( ∃ ϵ > 0 ∀ x ∈ U ˙ ϵ ( a ) ∩ M f ( x ) > B ) , {\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge (A>B)\Rightarrow \left(\exists \epsilon >0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M\quad f(x)>B\right),}

где U ˙ ϵ ( a ) {\displaystyle {\dot {U}}_{\epsilon }(a)} — проколотая окрестность точки a {\displaystyle a} .

  • В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки: ( lim x → a f ( x ) = A > 0 ) ⇒ ( ∃ ε > 0 ∀ x ∈ U ˙ ϵ ( a ) ∩ M f ( x ) > 0 ) ; {\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A>0\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M\quad f(x)>0\right);}
  • Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки: ( lim x → a f ( x ) = A ) ⇒ ( ∃ ε > 0 ∃ K > 0 ∀ x ∈ U ˙ ϵ ( a ) ∩ M | f ( x ) | ⩽ K ) ; {\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0\;\exists K>0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M\quad |f(x)|\leqslant K\right);}
  • Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля. ∃ lim x → a f ( x ) = A ≠ 0 ⇒ ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ U ˙ δ ( a ) | f ( x ) | ⩾ A 2 {\displaystyle \exists \lim \limits _{x\to a}f(x)=A\neq 0\Rightarrow \exists \delta >0:\ \forall x\in {\dot {U}}_{\delta }(a)\quad |f(x)|\geqslant {\frac {A}{2}}}
  • Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства. ( ∃ ε > 0 ∀ x ∈ U ˙ ε ( a ) f ( x ) ⩽ g ( x ) ) ∧ ( lim x → a f ( x ) = A ) ∧ ( lim x → a g ( x ) = B ) ⇒ ( A ⩽ B ) ; {\displaystyle \left(\exists \varepsilon >0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\varepsilon }(a)\quad f(x)\leqslant g(x)\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow (A\leqslant B);}
  • Правило двух милиционеров
  • Предел произведения равен произведению пределов: ( lim x → a f ( x ) = A ) ∧ ( lim x → a g ( x ) = B ) ⇒ ( lim x → a = A ⋅ B ) ; {\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl }=A\cdot B\right);}

Примеры

  • Функция, возвращающая константу, имеет предел в любой точке, в которой определена. Он равен этой константе. ∀ x 0 ∈ R : lim x → x 0 c = c {\displaystyle \forall x_{0}\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to x_{0}}c=c}
  • Тождественная функция в любой точке, в которой определена, имеет предел равный этой точке. ∀ x 0 ∈ R : lim x → x 0 x = x 0 {\displaystyle \forall x_{0}\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to x_{0}}x=x_{0}}
  • Функция Дирихле не имеет предела ни в какой точке числовой прямой. ∀ x 0 ∈ R ∄ lim x → x 0 D ( x ) {\displaystyle \forall x_{0}\in \mathbb {R} ~\not \exists \lim _{x\to x_{0}}D\left(x\right)}
  • Функция 1 / x {\displaystyle 1/x} имеет предел на бесконечности, равный нулю. lim x → + ∞ 1 x = lim x → − ∞ 1 x = lim x → ∞ 1 x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0}
  • Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности. lim x → + ∞ arctg ⁡ x = + π 2 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {arctg} ~x=+{\frac {\pi }{2}}} lim x → − ∞ arctg ⁡ x = − π 2 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} ~x=-{\frac {\pi }{2}}} ∄ lim x → ∞ arctg ⁡ x {\displaystyle \not \exists \lim _{x\to \infty }\operatorname {arctg} ~x}

> См. также

  • Правило Лопиталя
  • Замечательные пределы
  • Повторный предел
  • Непрерывная функция
  • Список пределов

Как обосновать кредитный лимит для покупателя

ГК РФ, что может повлечь требование об уплате %. marmot Местный Сообщений: 422 Благодарность от: Главный Адвокат Страны Re: фраза «лимит коммерческого кредита»??? Цитата: Сообщение от marmot это значит что покупатель имеет лимит задолженности, которую не должен превышать.

например , лимит 100р: в пределах этих 100 р он берет товар, частично оплачивает, частично не оплачивает, опять берет, опять оплачивает частично. как только долг его достиг 100р поставщик ему больше не отгружает.отмечу, что слова «коммерческий кредит» могут быть истолкованы в смысле ст.823 ГК РФ, что может повлечь требование об уплате %.

Овердрафт считают разновидностью контокорренту. Кроме текущего счета, в случае необходимости банк открывает клиенту ссудный счет, с которого оплачиваются расчетные документы.

Размер кредита ограничивается лимитом, величина которого и срок пользования кредитом по овердрафту определяются кредитным договором.

По форме привлечения кредиторов к кредитным операциям банковский кредит бывает: — двусторонний — Консорциумный (синдикатных) — Параллельный (многосторонний). <== ТЕМА 10: «КРЕДИТ В РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКЕ. | В двустороннем кредите участвуют банк и заемщик.

Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 184; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ: Поделитесь с друзьями: ПОИСК ПО САЙТУ: Поиск по сайту: При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Именно в связи с рискованностью возникает нужда в обеспечении рискового управления.

Поэтому процесс установления определенного тела будет иметь зависимость от возможности доказательства клиентом его платежеспособности.

Воспользоваться калькулятором→ Итак, заем имеет свои ограничения, а поэтому на него налагаются строгие требования со стороны заимодавца.

Это нормальная практика, мотивирующая клиентов овладевать достойной кредитной историей, а банки – создавать новые программы и возможности.

Общих возможностей расчетных операций при поиске не существует, поэтому каждая структура создает свои критерии, на основании которых определяются те или иные значения.

  • Главная
  • Инфо

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *