Аннуитет

Аннуите́т (фр. annuité от лат. annuus — годовой, ежегодный) или финансовая рента — график погашения финансового инструмента, предполагающий выплату как основного долга, так и вознаграждения за пользование данным финансовым инструментом. Выплаты по аннуитету осуществляются равными суммами через равные промежутки времени. Сумма аннуитетного платежа включает в себя и основной долг, и вознаграждение.

Аннуитетом в широком смысле может называться:

• Один из видов срочного государственного займа, по которому ежегодно выплачиваются проценты и погашается часть суммы.
• Равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определённые промежутки времени в счёт погашения полученного кредита, займа и процентов по нему.
• В страховании жизни — договор со страховой компанией, по которому физическое лицо приобретает право на регулярное получение согласованных сумм, начиная с определённого времени, например, выхода на пенсию.
• Современная стоимость серии регулярных страховых выплат, производимых с определенной периодичностью в течение срока, установленного договором страхования.

Аннуитетный график также может использоваться для того, чтобы накопить определённую сумму к заданному моменту времени. В таком случае на счёт или депозит, по которому начисляется вознаграждение, регулярно вносятся одинаковые суммы.

Виды аннуитетов

По времени выплаты первого аннуитетного платежа различают:

• аннуитет постнумерандо — выплата осуществляется в конце первого периода,
• аннуитет пренумерандо — выплата осуществляется в начале первого периода.

Коэффициент аннуитета

Коэффициент аннуитета превращает разовый платёж сегодня в платёжный ряд. С помощью данного коэффициента определяется величина периодических равных выплат по кредиту:

K = i ⋅ ( 1 + i ) n ( 1 + i ) n − 1 {\displaystyle K={\frac {i\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}} ,

где i {\displaystyle i} — процентная ставка за один период, n {\displaystyle n} — количество периодов на протяжении всего действия аннуитета (количество операций по капитализации процентов). На практике возможны некоторые отличия от математического расчёта, вызванные округлением, а также неодинаковой продолжительностью месяца и года; особенно это касается последнего по сроку платежа.

Предполагается, что выплаты производятся постнумерандо, то есть в конце каждого периода. И тогда величина периодической выплаты A = K ⋅ S {\displaystyle A=K\cdot S} , где S {\displaystyle S} — величина кредита.

Пример расчёта. Рассчитаем ежемесячную выплату по трехлетнему кредиту суммой 12000 долларов по ставке 6 % годовых. Поскольку выплаты будут производиться каждый месяц, необходимо привести процентную ставку из годового значения к месячному:

100 % + 6 % 12 − 1 = 1 , 06 12 − 1 ≈ 1 , 00487 − 1 = 0 , 00487 = 0 , 487 % {\displaystyle {\sqrt{100\%+6\%}}-1={\sqrt{1,06}}-1\approx 1,00487-1=0,00487=0,487\%} .

Подставляем в указанную выше формулу следующие значения: i = 0 , 00487 {\displaystyle i=0,00487} , n = 36 {\displaystyle n=36} . Полученный коэффициент умножаем на сумму кредита — 12000. Получаем около 364 долларов 20 центов в месяц.

Обычно погашение долга предусматривает ежемесячные или ежеквартальные выплаты, и задаётся годовая процентная ставка i {\displaystyle i} . Если выплаты производятся постнумерандо m {\displaystyle m} раз в год в течение n {\displaystyle n} лет, то точная формула для коэффициента аннуитета:

K = ( 1 + i m ) k ( 1 + i m ) k − 1 ⋅ ( 1 + i m − 1 ) = ( 1 + i m − 1 ) ⋅ ( 1 + i ) n ( 1 + i ) n − 1 {\displaystyle K={\frac {({\sqrt{1+i}})^{k}}{({\sqrt{1+i}})^{k}-1}}\cdot ({\sqrt{1+i}}-1)={\frac {({\sqrt{1+i}}-1)\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}

или по упрощенной формуле:

K = 1 + i m − 1 1 − ( 1 + i ) − n {\displaystyle K={\frac {{\sqrt{1+i}}-1}{1-(1+i)^{-n}}}} ,

где k {\displaystyle k} (всегда показатель степени) — количество периодов = n ⋅ m {\displaystyle n\cdot m} .

Представленная здесь формула коэффициента аннуитета основана на определении наращенной суммы долга с использованием формулы сложных процентов. Существует формула коэффициента аннуитета, основанная на определении наращенной суммы долга по формуле простых процентов. Кардинальное отличие простых процентов в отсутствии промежуточной капитализации процентов, поэтому при расчёте простыми процентами сначала производится выплата основного долга, а после того, как весь долг выплачен, начинается выплата (капитализация) процентов.

Сначала производится расчёт = {\displaystyle ={(p+2)^{2}+8pn}}-(p+2)}{2p}}]}

Затем m = 2 n + p 2 p + 2 {\displaystyle m={\frac {2n+p}{2p+2}}}

X = K m {\displaystyle X={\frac {K}{m}}}

Где n -количество месяцев кредита,

y — годовая процентная ставка p = y / 12 {\displaystyle y/12} — месячная процентная ставка K — размер кредита m — количество месяцев выплаты основного долга — целое число от m X — ежемесячный аннуитетный платеж

Пример. n=12,y=120 %=1.2,p=10 %=0.1,K=100000,

тогда =8, m=8.21052631578947

X=12179.49

Месяц	Платеж	Погашение основного долга	Погашение процентов	Основной долг	Начисление процентов	Накопленные проценты
0				100 000,00
1	12 179,49	12 179,49	0,00	87 820,51	10 000,00	10 000,00
2	12 179,49	12 179,49	0,00	75 641,03	8782,05	18 782,05
3	12 179,49	12 179,49	0,00	63 461,54	7564,10	26 346,15
4	12 179,49	12 179,49	0,00	51 282,05	6346,15	32 692,31
5	12 179,49	12 179,49	0,00	39 102,56	5128,21	37 820,51
6	12 179,49	12 179,49	0,00	26 923,08	3910,26	41 730,77
7	12 179,49	12 179,49	0,00	14 743,59	2692,31	44 423,08
8	12 179,49	12 179,49	0,00	2564,10	1474,36	45 897,44
9	12 179,49	2564,10	9615,38	0,00	256,41	36 538,46
10	12 179,49	0,00	12 179,49	0,00	0,00	24 358,97
11	12 179,49	0,00	12 179,49	0,00	0,00	12 179,49
12	12 179,49	0,00	12 179,49	0,00	0,00	0,00

Пример расчёта кредита аннуитетными платежами

Расчёт равных месячных платежей (X), необходимых для выплаты ипотечной ссуды (P) в 100 тыс. руб. с процентной ставкой (r) 10 % годовых/100, взятой на (n) 20 лет.

1 + r 12 ≈ 1 , 007974 {\displaystyle {\sqrt{1+r}}\approx 1,007974}

Месячный платеж X = P ( 1 + r 12 ) 12 n ⋅ ( 1 + r 12 − 1 ) ( 1 + r 12 ) 12 n − 1 = 100000 ⋅ 1 , 007974 240 ⋅ ( 1 , 007974 − 1 ) 1 , 007974 240 − 1 = 936 , 64 {\displaystyle X={\frac {P({\sqrt{1+r}})^{12n}\cdot ({\sqrt{1+r}}-1)}{({\sqrt{1+r}})^{12n}-1}}={\frac {100000\cdot 1,007974^{240}\cdot (1,007974-1)}{1,007974^{240}-1}}=936,64} ;

Дата	Денежный поток	Проценты	Погашение основного долга	Остаток основного долга
01.01.10	-100000,00			100000,00
01.02.10	936,64	797,41	139,23	99860,77
01.03.10	936,64	796,30	140,34	99720,44
01.04.10	936,64	795,18	141,45	99578,98
01.05.10	936,64	794,06	142,58	99436,40
01.06.10	936,64	792,92	143,72	99292,68
01.07.10	936,64	791,77	144,87	99147,82
…	…	…	…	…
01.10.29	936,64	29,29	907,35	2765,69
01.11.29	936,64	22,05	914,59	1851,11
01.12.29	936,64	14,76	921,88	929,23
01.01.30	936,64	7,41	929,23	0,00

Пример расчёта с учётом количества дней в месяцах и годах

Дата	Денежный поток	Проценты	Формула расчёта процентов	Погашение основного долга	Остаток основного долга
01.01.10	-100000,00				100000,00
01.02.10	936,64	812,77	=(1,1^(31/365)-1)*100000	123,87	99876,13
01.03.10	936,64	732,92	=(1,1^(28/365)-1)*99876,13	203,72	99672,41
01.04.10	936,64	810,11	=(1,1^(31/365)-1)*99672,41	126,53	99545,88
01.05.10	936,64	782,88	=(1,1^(30/365)-1)*99545,88	153,76	99392,12
01.06.10	936,64	807,83	=(1,1^(31/365)-1)*99392,12	128,81	99263,31
01.07.10	936,64	780,65	=(1,1^(30/365)-1)*99263,31	155,99	99107,32
…	…	…	…	…	…
01.10.29	936,64	27,94	=(1,1^(30/365)-1)*3552,24	908,70	2643,54
01.11.29	936,64	21,49	=(1,1^(31/365)-1)*2643,54	915,15	1728,39
01.12.29	936,64	13,59	=(1,1^(30/365)-1)*1728,39	923,05	805,34
01.01.30	811,89	6,55	=(1,1^(31/365)-1)*805,34	805,34	0,00

Итого сумма процентов за 20 лет составляет 124668,85 руб.

Банковский расчёт аннуитета

По сложившейся практике банк считает аннуитетный платеж по следующей формуле

где

P l {\displaystyle Pl} — ежемесячный аннуитетный платеж

S {\displaystyle S} — кредит

P g o d o v a y a {\displaystyle P_{godovaya}} — годовая процентная ставка

T {\displaystyle T} -количество месяцев кредита

Пример

Пусть S {\displaystyle S} =100000, P g o d o v a y a {\displaystyle P_{godovaya}} =120 %, T {\displaystyle T} =12

Месяц	Платеж	Погашение процентов	Погашение основного долга	Остаток основного долга
0				100000,00
1	14676,33	10000,00	4676,33	95323,67
2	14676,33	9532,37	5143,96	90179,71
3	14676,33	9017,97	5658,36	84521,35
4	14676,33	8452,14	6224,19	78297,16
5	14676,33	7829,72	6846,61	71450,55
6	14676,33	7145,06	7531,27	63919,28
7	14676,33	6391,93	8284,40	55634,88
8	14676,33	5563,49	9112,84	46522,04
9	14676,33	4652,20	10024,13	36497,91
10	14676,33	3649,79	11026,54	25471,37
11	14676,33	2547,14	12129,19	13342,18
12	14676,40	1334,22	13342,18	0,00

Однако, в ст. 6 353-ФЗ «О ПОТРЕБИТЕЛЬСКОМ КРЕДИТЕ (ЗАЙМЕ)» , формула имеет вид

∑ k = 1 m D P k ( 1 + e k i ) ( 1 + i ) q k = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}=0}

Она основана на формуле

− S + ∑ k = 2 13 D k = 0 {\displaystyle -S+\sum _{k=2}^{13}D_{k}=0}

где S {\displaystyle S} — кредит

D k − k {\displaystyle D_{k}-k} -ое погашение основного долга

D P 1 = − S {\displaystyle DP_{1}=-S}

D 1 = − S ( 1 + 0 , 1 ) k − 1 = − S {\displaystyle D_{1}={\frac {-S}{(1+0,1)^{k-1}}}=-S}

расчёт должен быть таким

k	Месяц	Денежный поток	Погашение процентов	Погашение основного долга	Остаток основного долга
1	0	-100000,00			100000,00
2	1	14676,33	1334,21	13342,12	86657,88
3	2	14676,33	2547,13	12129,20	74528,68
4	3	14676,33	3649,79	11026,54	63502,14
5	4	14676,33	4652,20	10024,13	53478,01
6	5	14676,33	5563,48	9112,85	44365,16
7	6	14676,33	6391,92	8284,41	36080,75
8	7	14676,33	7145,05	7531,28	28549,47
9	8	14676,33	7829,71	6846,62	21702,85
10	9	14676,33	8452,13	6224,20	15478,65
11	10	14676,33	9017,97	5658,36	9820,29
12	11	14676,33	9532,37	5143,96	4676,33
13	12	14676,33	10000,00	4676,33	0,00

По логике законодателя, если в расчёте отсутствуют комиссии, то ПСК= P g o d o v a y a {\displaystyle P_{godovaya}}

Поскольку погашение происходит точно каждый месяц, поэтому в формуле ст. 6 все e k = 0 {\displaystyle e_{k}=0} , q k = k − 1 {\displaystyle q_{k}=k-1} , m = T + 1 {\displaystyle m=T+1} ,ЧБП=12, T {\displaystyle T} =12, D P k = 14676 , 33 {\displaystyle DP_{k}=14676,33} при k = 2…13 {\displaystyle k=2…13} , S = 100000 {\displaystyle S=100000} , i {\displaystyle i} =ПСК/ЧБП/100%=120 %/12/100%=0,1 и формула преобразуется в

− 100000 + ∑ k = 2 13 14676 , 33 ( 1 + 0 , 1 ) k − 1 = 0 {\displaystyle -100000+\sum _{k=2}^{13}{\frac {14676,33}{(1+0,1)^{k-1}}}=0}

Отсюда D k = 14676 , 33 ( 1 + 0 , 1 ) k − 1 {\displaystyle D_{k}={\frac {14676,33}{(1+0,1)^{k-1}}}} для k = 2…13 {\displaystyle k=2…13}

Действительно, в таблице, например, D 13 = 14676 , 33 ( 1 + 0 , 1 ) 12 ≈ 4676 , 33 {\displaystyle D_{13}={\frac {14676,33}{(1+0,1)^{12}}}\approx 4676,33}

При этом проценты ( P k {\displaystyle P_{k}} ) рассчитываются по формуле

P k = D k ( ( 1 + 0 , 1 ) k − 1 − 1 ) {\displaystyle P_{k}=D_{k}((1+0,1)^{k-1}-1)}

Например, для k = 13 {\displaystyle k=13}

10000 = 4676 , 33 ⋅ ( ( 1 + 0 , 1 ) 12 − 1 ) {\displaystyle 10000=4676,33\cdot ((1+0,1)^{12}-1)}

Что соответствует расчёту сложными процентами от погашения основного долга

Физический смысл данного расчёта состоит в том, что в день выдачи кредита кредит делится на 12 неравных подкредита на 1,2, …. 12 месяцев

Например, для k = 13 {\displaystyle k=13} в день выдачи кредита (соответствует 0 -му месяцу) выдается кредит 4676,33 на 12 месяцев с единственным погашением через 12 месяцев.

Расчёт для k = 13 {\displaystyle k=13} выглядит по меньшей мере странно: в соответствии с определением процентной ставки процент за год = 10000 4676 , 33 = 2 , 13843 = 213 , 843 % {\displaystyle ={10000 \over 4676,33}=2,13843=213,843\%} .

В то же время, P g o d o v a y a = 120 % {\displaystyle P_{godovaya}=120\%}

Дело в том, что исторически произошла путаница двух понятий: годовая процентная ставка и 12-кратная среднемесячная процентная ставка. При расчёте простыми процентами данные понятия являются идентичными. Поскольку расчёт производится сложными процентами, следовательно, и ПСК в ст. 6 353-ФЗ, и P g o d o v a y a {\displaystyle P_{godovaya}} в банковском расчёте (в данном случае, Сбербанка) в данном примере являются 12-кратными среднемесячными процентными ставками ( 12 ⋅ i {\displaystyle 12\cdot i} ).

Пусть среднемесячная процентная ставка i = 10 % {\displaystyle i=10\%} , тогда двенадцатикратная среднемесячная процентная ставка 12 ⋅ i = 120 % {\displaystyle 12\cdot i=120\%} , а годовая процентная ставка j = ( 1 + i ) 12 − 1 = 2 , 13843 = 213 , 843 % {\displaystyle j=(1+i)^{12}-1=2,13843=213,843\%}

До 1 сентября 2014 года формула расчёта ПСК в ст.6 353-ФЗ выглядела так:

∑ i = 0 n D P i ( 1 + P S K ) d i − d 0 365 = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {DP_{i}}{(1+PSK)^{d_{i}-d_{0} \over 365}}}=0}

Здесь ПСК действительно вычисляется правильно, получается правильная годовая процентная ставка , ее можно рассчитать в Excel при помощи функции ЧИСТВНДОХ

Таким образом, если банк считает сложными процентами, тогда

Если банк считает простыми процентами, тогда

P l = S p = 1900000 156 ≈ 12179 , 49 {\displaystyle Pl={\frac {S}{p}}={\frac {1900000}{156}}\approx 12179,49}

Всё это более, чем странно, поскольку в ответе на вопрос ДБР к ЦБР от 18.08.2014 указывается:

«При расчёте ПСК учитываются все платежи по кредитному договору (договору займа) (в том числе предусмотренные договором платежи в пользу третьих лиц) по принципу сложных процентов»

То есть, по мнению законодателя формула

∑ k = 1 m D P k ( 1 + e k i ) ( 1 + i ) q k = 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}=0}

рассчитана по принципу сложных процентов

Но по принципу сложных процентов рассчитана формула

∑ i = 0 n D P i ( 1 + P S K ) G i − G 0 = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {DP_{i}}{(1+PSK)^{G_{i}-G_{0}}}}=0}

где G i = y i + Δ i D i {\displaystyle G_{i}=y_{i}+{\Delta _{i} \over D_{i}}}

y i {\displaystyle y_{i}} — год d i {\displaystyle d_{i}}

Δ i {\displaystyle \Delta _{i}} — порядковый номер дня d i {\displaystyle d_{i}} в году (1 января — 1, 31 декабря невисокосного года — 365)

здесь возникает неопределенность: 1 января на начало дня начисляются проценты за 31 декабря предыдущего года, поэтому 1 января может относиться как к текущему году, так и к предыдущему, поэтому по другой версии 1 января — 0, 31 декабря невисокосного года — 364

D i {\displaystyle D_{i}} — число дней в году d i {\displaystyle d_{i}} (365 или 366)

При D i = 365 {\displaystyle D_{i}=365} данная формула полностью совпадает с

∑ i = 0 n D P i ( 1 + P S K ) d i − d 0 365 = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {DP_{i}}{(1+PSK)^{d_{i}-d_{0} \over 365}}}=0}

«Процентные доходы и процентные расходы по размещенным и привлеченным средствам начисляются в порядке и размере, предусмотренными соответствующим договором, на остаток задолженности по основному долгу, учитываемой на соответствующем лицевом счёте на начало операционного дня. При начислении процентных доходов и процентных расходов в расчёт принимаются величина процентной ставки (в процентах годовых) и фактическое количество календарных дней, на которое привлечены или размещены средства. При этом за базу берется действительное число календарных дней в году — 365 или 366 дней соответственно, если иное не предусмотрено соглашением сторон.»

Таким образом, банк может заключить соглашение сторон, при котором число календарных дней в году — 365, в месяце — 30, в году 12 месяцев.

Проценты считаются на остаток задолженности по основному долгу по той части кредита, по которой происходит текущая выплата, то есть на D P k ( 1 + e k i ) ( 1 + i ) q k {\displaystyle {\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}}

Тогда формула расчёта процентов будет D P k − D P k ( 1 + e k i ) ( 1 + i ) q k = D P k ⋅ ( 1 − 1 ( 1 + e k i ) ( 1 + i ) q k ) {\displaystyle DP_{k}-{\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}=DP_{k}\cdot (1-{1 \over {(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}})} .

Здесь i {\displaystyle i} — среднемесячная процентная ставка, в долях единицы

q k {\displaystyle q_{k}} — число полных месяцев с выдачи кредита

e k {\displaystyle e_{k}} — отношение дней с момента завершения q k {\displaystyle q_{k}} -го месяца до даты k-го денежного потока к 30

12 i ⋅ 100 % {\displaystyle 12i\cdot 100\%} — 12-кратная среднемесячная процентная ставка

( ( 1 + i ) 12 − 1 ) ⋅ 100 % {\displaystyle ((1+i)^{12}-1)\cdot 100\%} — годовая процентная ставка

Тогда ПСК при отсутствии комиссий и при подавляющем большинстве досрочных погашений всегда будет равна 12-кратной среднемесячной процентной ставке

Пример расчёта универсального аннуитета

Существует пример, который подходит и для банковского расчёта, и для ст. 6 353-ФЗ, и для 2008-У, и для математических расчётов, в котором нет никаких округлений.

Для наглядности рассмотрим пример банковского расчёта:

где

P l {\displaystyle Pl} — ежемесячный аннуитетный платеж

S {\displaystyle S} — кредит

P g o d o v a y a {\displaystyle P_{godovaya}} — годовая процентная ставка

T {\displaystyle T} -количество месяцев кредита

Пусть погашение кредита происходит равными платежами ежегодно. Тогда:

P l = S ⋅ P g o d o v a y a 100 % 1 − ( 1 + P g o d o v a y a 100 % ) − T {\displaystyle Pl={\frac {S\cdot {\frac {P_{godovaya}}{100\%}}}{1-(1+{\frac {P_{godovaya}}{100\%}})^{-T}}}}

T {\displaystyle T} -количество лет кредита

Пример

Пусть S {\displaystyle S} =100000, P g o d o v a y a {\displaystyle P_{godovaya}} =120 %, T {\displaystyle T} =2

Дата	Платеж	Погашение процентов	Погашение основного долга	Остаток основного долга
11.01.2017				100000
11.01.2018	151250	120000	31250	68750
11.01.2019	151250	82500	68750	0

Посчитаем ПСК по формуле 2008-У (вместо PSK сразу подставляем 120 %/100%=1,2):

Посчитаем ПСК по формуле ст. 6 353-ФЗ (Поскольку погашение происходит точно каждый год, поэтому в формуле ст. 6 все e k = 0 {\displaystyle e_{k}=0} , q k = k − 1 {\displaystyle q_{k}=k-1} , m = T + 1 {\displaystyle m=T+1} ,ЧБП=1, T {\displaystyle T} =2, D P k = 151250 {\displaystyle DP_{k}=151250} при k = 2…3 {\displaystyle k=2…3} , D P 1 = − 100000 {\displaystyle DP_{1}=-100000} , i {\displaystyle i} =ПСК/ЧБП/100%=120 %/1/100%=1,2):

поскольку в ответе на вопрос ДБР к ЦБР от 18.08.2014 указывается:

«При расчёте ПСК учитываются все платежи по кредитному договору … по принципу СЛОЖНЫХ процентов, поэтому значение ПСК может отличаться от процентной ставки по кредитному договору …»,

Следовательно, банк в расчётах использует сложные проценты, хотя декларирует использование простых.

Будущая стоимость аннуитетных платежей

Будущая стоимость аннуитетных платежей предполагает, что платежи осуществляются на приносящий проценты вклад. Поэтому будущая стоимость аннуитетных платежей является функцией как величины аннуитетных платежей, так и ставки процента по вкладу.

Будущая стоимость серии аннуитетных платежей (FV) вычисляется по формуле (предполагается сложный процент)

F V a n n u i t y = X ⋅ ( 1 + r ) n − 1 r {\displaystyle FV_{\mathrm {annuity} }=X\cdot {(1+r)^{n}-1 \over r}} ,

где r — процентная ставка за период, n — количество периодов, в которые осуществляются аннуитетные платежи, X — величина аннуитетного платежа.

Аннуитет пренумерандо в рассматриваемом случае начисления процентов по аннуитетным платежам, имеет на один период начисления процентов больше. Поэтому формула для вычисления будущей стоимости аннуитета пренумерандо приобретает следующий вид

F V a n n u i t y = X ⋅ ( 1 + r ) n − 1 r ⋅ ( 1 + r ) {\displaystyle FV_{\mathrm {annuity} }=X\cdot {(1+r)^{n}-1 \over r}\cdot {(1+r)}}

В табличных процессорах в состав финансовых функций входит функция для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей. В OpenOffice.org Calc для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей (как постнумерандо, так и пренумерандо) применяется функция FV.

Расчёт составляющих аннуитета

При простых процентах

Аннуитетный платеж = Погашение ОД + Проценты

где Погашение ОД — сумма в погашение тела займа

Проценты — сумма процентов по ссуде за месяц, выплачиваются после полного погашения ОД

Проценты по кредиту = (Сумма ОД х Процентная ставка х Число дней между датами) / (100 х Число дней в году)

Где сумма ОД — сумма основного долга на дату расчёта.

Ставка — процентная ставка в текущем периоде. Если было изменение процентной ставки, берется новая ставка.

Число дней между датами — разность в днях между датами «Дата текущего платежа» и дата предыдущего платежа.

При сложных процентах

Аннуитетный платеж = Погашение ОД + Проценты

где Погашение ОД — сумма в погашение тела займа

Проценты — сумма процентов по ссуде за месяц, выплачиваются ежемесячно

Проценты по кредиту = Сумма ОД х ((1+Процентная ставка/100)^((Число дней между датами)/ (Число дней в году)) −1)

Где сумма ОД — сумма основного долга на дату расчёта.

Ставка — процентная ставка в текущем периоде. Если было изменение процентной ставки, берется новая ставка.

Число дней между датами — разность в днях между датами «Дата текущего платежа» и дата предыдущего платежа.

> См. также

• Капитализация процентов
• Процентная ставка
• Дисконтированная стоимость

Ссылки

• Аннюитет // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Смирнова Е. Ю. Аннуитетные финансовые функции в таблицах Google Docs

Примечания

1. Ефимов С.Л. Аннуитет // Экономика и страхование: Энциклопедический словарь. — Москва: Церих-ПЭЛ, 1996. — С. 5. — 528 с. — ISBN 5-87811-016-4.
2. Банковское дело: Учебник для вузов. / Под ред. Г. Белоглазовой, Л. Кроливецкой. — 2-е изд.. — СПб.: Питер, 2010. — С. 240. — 400 с. — ISBN 978-5-91180-733-7.
3. 1 2 п. 3.1.1. Общих условий предоставления, обслуживания и погашения кредитов для физических лиц по продукту Потребительский кредит.
4. 1 2 353-ФЗ «О ПОТРЕБИТЕЛЬСКОМ КРЕДИТЕ (ЗАЙМЕ).
5. ФЗ «О потребительском кредите (займе)» в первоначальной редакции.
6. 1 2 Департамент банковского регулирования. Вопрос Центральному банку Российской Федерации от 18.08.2014 (недоступная ссылка). Центральный банк Российской Федерации (19.09.2014). Дата обращения 15 сентября 2016. Архивировано 4 августа 2016 года.
7. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ БАНК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (БАНК РОССИИ). ПОЛОЖЕНИЕ О порядке определения доходов, расходов и прочего совокупного дохода кредитных организаций // Вестник Банка России : журнал. — 2015. — 13 февраля (№ 12 (1608)). — С. 3.
8. Формулы для расчёта досрочного погашения аннуитетного кредита | Калькулятор с досрочным погашением онлайн. mobile-testing.ru. Дата обращения 13 апреля 2016.
9. Аннуитетный платеж (недоступная ссылка). www.mathinary.com. Дата обращения 11 августа 2017. Архивировано 11 августа 2017 года.

Аннуите́т (фр. annuité от лат. annuus — годовой, ежегодный) или финансовая рента — общий термин, описывающий график погашения финансового инструмента (выплаты вознаграждения или уплаты части основного долга и процентов по нему), когда выплаты устанавливаются периодически равными суммами через равные промежутки времени. Аннуитетный график отличается от такого графика погашения, при котором выплата всей причитающейся суммы происходит в конце срока действия инструмента, или графика, при котором на периодической основе выплачиваются только проценты, а вся сумма основного долга подлежит к оплате в конце.

Сумма аннуитетного платежа включает в себя основной долг и вознаграждение.

В широком смысле, аннуитетом может называться как сам финансовый инструмент, так и сумма периодического платежа, вид графика погашения финансового инструмента или другие производные понятия, оттенки значения. Аннуитетом, например, является:

• Один из видов срочного государственного займа, по которому ежегодно выплачиваются проценты, и погашается часть суммы.
• Равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определённые промежутки времени в счёт погашения полученного кредита, займа и процентов по нему.
• Соглашение или контракт со страховой компанией, по которому физическое лицо приобретает право на регулярно поступающие суммы, начиная с определённого времени, например, выхода на пенсию.
• Современная стоимость серии регулярных выплат, производимых с определенной периодичностью в течение срока, установленного договором страхования.

Аннуитетный график также может использоваться для того, чтобы накопить определённую сумму к заданному моменту времени, внося равновеликие вклады на счёт или депозит, по которому начисляется вознаграждение.

Коэффициент аннуитета превращает разовый платёж сегодня в платёжный ряд. С помощью данного коэффициента определяется величина периодических равных выплат по кредиту:

где — процентная ставка за один период (всего периодов n), — количество периодов на протяжении всего действия аннуитета.
(следует учитывать, что данная формула является чисто математической, то есть на практике возможны некоторые девиации, вызванные округлением, а также неодинаковой продолжительностью месяца и года; особенно это касается последнего по сроку платежа).

Предполагается, что выплаты производятся постнумерандо, то есть в конце каждого периода. И тогда величина периодической выплаты A = K·S, где S — величина кредита.

Пример расчёта. Рассчитаем ежемесячную выплату по трехлетнему кредиту суммой $ 12000 по ставке 6 % годовых. Поскольку выплаты будут производиться каждый месяц, необходимо привести процентную ставку из годового значения к месячному: 6 %/12 = 0,5 %, или 0,005 в месяц. Подставляем в указанную выше формулу следующие значения: , мес. Полученный коэффициент умножаем на сумму кредита — 12000. Получаем 365 $/мес.

Обычно погашение долга предусматривает ежемесячные или ежеквартальные выплаты, и задаётся годовая процентная ставка . Если выплаты производятся постнумерандо раз в год в течение лет, то точная формула для коэффициента аннуитета:

или по упрощенной формуле:

где (всегда показатель степени) — количество периодов = n*m.

> См. также

• Капитализация процентов
• Процентная ставка
• Дисконтированная стоимость

• Аннюитет // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Аннуитетные финансовые функции
• Калькулятор аннуитета

Аннуитетный платёж – это платёж, который устанавливается в равной сумме через равные промежутки времени. Так, при аннуитетном графике погашения кредита вы ежемесячно платите одну и ту же сумму, независимо от остатка задолженности. Другим способом внесения ежемесячных платежей является дифференцированный способ погашения.

Для сравнения, при дифференцированной схеме погашения кредита сумма основного долга выплачивается ежемесячно равными долями, а проценты рассчитываются от остатка задолженности. В таком случае сумма ежемесячного платежа уменьшается в процессе погашения кредита.

Например, сумма процентов за первый месяц пользования кредитом равна:

S%1 = S * i,

где S%1 – сумма процентов за первый месяц,

S — сумма кредита.

i — процентная ставка по кредиту в месяц (рассчитывается как годовая, делённая на 12 месяцев).

За второй и следующие месяцы:

S%n = (S — ∆S) * i,

где ∆S – сумма погашенного основного долга.

Как рассчитать ежемесячный платёж?

Формула расчёта суммы ежемесячного платежа при аннуитетной схеме погашения следующая:

A = K * S

где А – сумма ежемесячного аннуитетного платежа,

К — коэффициент аннуитета,

S — сумма кредита.

Сумма кредита известна. А для расчёта К – коэффициента аннуитета, используется следующая формула:

где i — процентная ставка по кредиту в месяц (рассчитывается как годовая, делённая на 12 месяцев),

n — количество периодов (месяцев) погашения кредита.

Применив вышеописанную схему расчёта, вы сможете узнать сумму, которую необходимо будет погашать ежемесячно.

Пример расчёта аннуитетного платежа

Предположим, что нужно провести расчёт ежемесячного платежа по кредиту с аннуитетным графиком погашения под процентную ставку 48% годовых сроком на 4 года на сумму 2 000 рублей. Используя приведённую выше формулу расчёта ежемесячного платежа (A = K • S) и коэффициента К, рассчитаем аннуитетный платёж.

Имеем:

i= 48%/12 месяцев = 4% или 0,04

n = 4 года* 12 месяцев = 48 (месяцев)

S = 20 000 000

Рассчитываем К:

К=(0,04*〖(1+0,04)〗^48)/(〖(1+0,04)〗^48-1) = 0,0472

А теперь подставим полученное значение в формулу ежемесячного платежа:

А = 0,0472 * 2 000 = 94,4 рублей.

Таким образом, в течение 4 лет (или 48 месяцев) необходимо будет вносить в банк платёж в сумме 94,4 рублей. Переплата по кредиту за 4 года составит 2 531,2 ( = 94,4 * 48 – 2 000).

Кому выгоден аннуитет?

В первую очередь аннуитетный способ погашения выгоден банку. Объясняется это тем, что в течение всего срока погашения кредита проценты начисляются на первоначальную сумму кредита. При дифференцированной графике уплата процентов за 100% суммы кредита происходит только в первом месяце (в случае отсутствия отсрочки уплаты основного долга), далее проценты начисляются на остаток, из-за чего итоговая переплата по кредиту окажется меньше. Иными словами, среди двух кредитов с одинаковыми процентными ставками, сроком погашения и дополнительными комиссиями, кредит с аннуитетной схемой погашения всегда будет дороже.

Для примера, рассчитаем переплату по кредиту, рассмотренному выше, но теперь с дифференцированным графиком погашения. Она составит 1 960 рублей. Это на 571,2 рубля меньше, чем при аннуитетной схеме.

С другой стороны, погашение задолженности и процентов равными долями удобно кредитополучателю, так как ежемесячный платёж является постоянным и не требует уточнения в банке необходимой суммы взноса, в то время как при дифференцированном графике каждый месяц сумма платежа окажется разной.

Применение аннуитетного способа погашения, таким образом, обойдётся дороже, но при этом гораздо удобнее.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Аннуитеты. Текущая стоимость аннуитета. Будущая стоимость аннуитета [3, 11, 13]

Аннуитет (финансовая рента) — ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени.

Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми; ренты, платежи по которым производятся несколько раз в год, либо период между платежами может превышать год, называются дискретными.

По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на немедленные (платежи производятся сразу же после заключения контракта) и отложенные (срок реализации откладывается на указанное в контракте время).

По моменту выплат подразделяются на обычные — постнумерандо, в которых платежи производятся в конце соответствующе периодов (года, полугодия и т. д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале соответствующих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.

Обобщающими показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (текущая, приведенная) величина.

Наращенная сумма ренты (FVA) — это сумма потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

где FVA — будущая стоимость аннуитета (future value of annuity);

А — платеж, осуществленный в конце периода t (величина ежегодного взноса);

i — уровень дохода по инвестициям (годовая процентная ставка);

n — число периодов, в течение которых получается доход.

Если суммы платежей одинаковы в каждом периоде, то это уравнение можно представить в виде:

— коэффициент наращения ренты, который называют также коэффициентом накопления денежной единицы за период. Коэффициент наращения ренты показывает будущую стоимость аннуитета в 1 руб. в конце каждого периода получения доходов на протяжении n периодов и при ставке процентного дохода на уровне i. Коэффициенты наращения ренты табулированы приложении.

Ренты (пренумерандо) также называются авансовыми или причитающимися аннуитетами, т. е. первый платеж производится немедленно, а последующие платежи производятся через равные интервалы. Сумма членов такой ренты вычисляется по формуле:

т. е. сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

где FVAo — наращенная сумма аннуитета постнумерандо.

В случае, когда платежи производятся в середине периодов, вычисление наращенной суммы производится по формуле:

где FVAо — наращенная сумма платежей, выплачиваемых в конце каждого периода (рента постнумерандо).

Если начисление процентов осуществляется m раз в год, то расчет будущей стоимости аннуитета производится по формуле:

где m — число начислений в течение года.

Определение будущей стоимости дискретной ренты (платежи осуществляются несколько раз в год) осуществляется по формуле:

где k — число рентных платежей в течение года.

Пример 1. В компании принято решение сформировать инвестиционный фонд, откладывая в течение 10 лет по 500 000 руб. на банковский счет со ставкой 10%. Сколько средств будет в инвестиционном фонде компании через 10 лет.

Пример 2. Предприятию предстоит через 5 лет заменить технологическую установку стоимостью в 1 млн. руб. Имеется договоренность с банком об открытии накопительного счета под амортизационный фонд со ставкой в 10% годовых. Спрашивается, сколько надо предприятию ежегодно перечислять на этот счет, чтобы к концу 5 года собрать сумму, достаточную для покупки аналогичной установки (не беря в расчет инфляцию)

1 000 000 = А . 6,105

А = 1 000 000 / 6,105 =163 800,2 руб.

Пример 3. Производственная компания заключила договор с банком на 5 лет, поступающие ежегодные денежные платежи в размере 10 млн. руб. помещаются на депозит под 8% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму депозита в конце срока договора.

Пример 4. Для создания фонда развития фирма заключила договор с банком, предусматривающий ежеквартальное внесение 15 млн. руб. на депозит в течение 5 лет под 7,5% готовых. Определите сумму депозита по окончанию срока договора.

Современная величина ренты (ее также называют текущей, или приведенной величиной) — это сумма всех членов ренты, дисконтированных на момент приведения по выбранной дисконтной ставке.

где FA — будущие поступления денежных средств в конце периода t;

i — норма доходности по инвестициям (годовая процентная ставка);

n — число периодов, на протяжении которых в будущем поступят доходы от современных инвестиций.

Для ренты с членами, равными будущими поступлениями денежных средств (FA), современная величина рассчитывается по формуле:

или

— коэффициент приведения ренты — текущая стоимость аннуитета стоимостью в 1руб. в конце каждого из n периодов при ставке доходности на уровне i.

Данный показатель также называется текущей стоимостью обычного аннуитета, или текущей стоимостью будущих платежей. Коэффициенты приведения ренты табулированы в приложении.

В случае начисления процентов m раз в год, расчет текущей (приведенной) стоимости аннуитета производится по формуле:

где m — число начислений в течение года.

Определение текущей стоимости дискретной ренты (платежи осуществляются несколько раз в год) осуществляется по формуле:

где k — число рентных платежей в течение года.

Пример 1. Фирмой предусматривается создание в течение 3 лет фонда инвестирования в размере 811,6 тыс. руб. Фирма имеет возможность ассигновать на эти цели ежегодно 250 тыс. руб., помещая в банк под 8 % годовых. Какая сумма потребовалась бы фирме для создания фонда, если бы она поместила ее в банк одномоментно на 3 года под 8 % годовых.

Для ответа на поставленный вопрос рассчитаем текущую величину ренты с параметрами: FA = 250 тыс. руб.; n = 3; i = 8%.

Действительно, если бы фирма имела возможность указанную сумму (644,27 тыс. руб.) поместить в банк на 3 года под 8%, годовых, то наращенная сумма составила бы:

В то же время наращенная сумма при ежегодных платежах в размере 250 тыс. руб. под 8 % годовых составит:

Пример 2. Фирма создает фонд развития путем ежегодных помещений в банк сумм в размере 2 млн. руб. под 10% годовых. Взносы в банк производятся равными частями один раз в год в середине года. Необходимо определить величину фонда к концу пятого года и современную стоимость потока платежей.

Определение наращенной суммы (величины фонда):

Современная стоимость потока платежей:

Будущая стоимость аннуитета

Определение будущей стоимости денежного потока является одним из важнейших элементов в финансовых расчетах, базирующихся на концепции стоимости денег во времени. Аннуитеты являются широко распространенными финансовыми инструментами, определение будущей стоимости которых является важным этапом, необходимым для принятия решения о целесообразности осуществления инвестиции.

Аннуитет, в большинстве случаев, является набором одинаковых денежных потоков, возникающих через равные промежутки времени. При этом будущая стоимость аннуитета будет зависеть от того, в начале или в конце каждого периода будет возникать денежный поток. Если денежный поток возникает в начале каждого периода, то такой аннуитет называют «пренумерандо», если в конце каждого периода – «постнумерандо». Чтобы лучше разобраться в ситуации, рассмотрим ее на примере.

Рассмотрим простейший аннуитет, когда инвестор планирует ежегодно размещать на срочный депозит по 1000 у.е. под 5% годовых в течении 5 лет. Рассчитаем будущую стоимость этого аннуитета, рассмотрев вариант внесения первой суммы в начале и в конце первого периода.

Если инвестор будет вносить деньги в начале каждого периода (аннуитет пренумерандо), то будущая стоимость всех денежных потоков схематически будет выглядеть следующим образом.

Будущую стоимость каждого денежного потока можно рассчитать, воспользовавшись следующей формулой.

где PV – настоящая стоимость денежного потока;

i – процентная ставка за период (ставка дисконтирования или требуемая норма доходности);

N – количество периодов.

Настоящая стоимость каждого денежного потока составит.

FV1 = 1000/(1+0,05)5 = 1276,28 у.е.

FV2 = 1000/(1+0,05)4 = 1215,51 у.е.

FV3 = 1000/(1+0,05)3 = 1157,63 у.е.

FV4 = 1000/(1+0,05)2 = 1102,50 у.е.

FV5 = 1000/(1+0,05)1 = 1050 у.е.

Первый денежный поток, внесенный в 0 точке, будет размещен на депозит на все 5 лет, второй — на 4 года и т.д. Таким образом, будущая стоимость аннуитета будет равна сумме всех пяти денежных потоков 5801,91 у.е.

FVA = 1276,28+1215,51+1157,63+1102,50+1050=5801,91 у.е.

Рассчитать будущую стоимость аннуитета пренумерандо можно воспользовавшись следующей формулой.

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Подставив данные из приведенного выше примера в формулу мы получим 5801,91 у.е.

Если инвестор будет вносить средства в конце каждого периода (аннуитет постнумерандо), то будущая стоимость всех денежных потоков схематически будет выглядеть следующим образом.

В этом случае первый платеж будет внесен в 1-ой точке и будет размещен на депозит на 4 года, второй платеж – на 3 года и т.д. При этом последний платеж будет внесен в конце 5-го года и проценты на него начислены не будут.

Таким образом, настоящая стоимость каждого денежного потока составит.

FV1 = 1000/(1+0,05)4 = 1215,51 у.е.

FV2 = 1000/(1+0,05)3 = 1157,63 у.е.

FV3 = 1000/(1+0,05)2 = 1102,50 у.е.

FV4 = 1000/(1+0,05)1 = 1050 у.е.

FV5 = 1000/(1+0,05)0 = 1000 у.е.

При этом будущая стоимость аннуитета будет равна сумме всех денежных потоков 5525,63 у.е.

FVA = 1215,51+1157,63+1102,50+1050+1000=5525,63 у.е.

Также будущую стоимость аннуитета постнумерандо можно рассчитать, воспользовавшись следующей формулой.

Подставив данные из нашего примера мы получим 5525,63 у.е., что подтверждается предыдущими расчетами.

Как показали приведенные выше расчеты, будущая стоимость аннуитета может существенно отличаться в зависимости от того, в начале или в конце периода будут осуществляться платежи. Например, арендодателю будет более выгодно получать авансовые платежи от арендатора. При этом арендатору выгоднее выплачивать арендный платеж в конце каждого месяца, а не в начале. Таким образом, этот фактор необходимо учитывать в финансовых расчетах при оценке имеющихся инвестиционных возможностей.

Аннуитет – это общепринятый термин, который означает структуру погашения финансового механизма (ежемесячная оплата кредита, процентов и т.д.).

Аннуитетные выплаты структурируются одинаковыми суммами через одинаковое количество времени. График погашения, предоставленный данным способом, имеет определенные отличия от обычного графика погашения, где вся сумма должника направлена на конец срока финансового механизма. При обычном графике построения выплат сначала происходит оплата процентов, а только потом списывается основная сумма долга.

Иными словами, аннуитет представляет собой определенную систему выплаты задолженности, где сумма долга и процентов выплачиваются равномерно в течение всего срока кредитования. Еще аннуитет называют финансовой рентой, что по своей составляющей одно и то же.

Например, если заработная плата работнику начисляется каждый месяц в равном количестве, то данный доход является аннуитетным. При оформлении рассрочки в магазине на какой-либо товар, ежемесячный платеж в банк тоже будет иметь статус аннуитета.

Виды аннуитета

Сумма аннуитетного платежа всегда складывается из основного долга и процентных соотношений. В своем понятии данный термин имеет широкий охват: аннуитетом могут считаться:

• срочный государственный заем в виде кредита, где ежегодно происходит оплата процентов и частично оплачивается сумма долга;
• обыкновенный кредит для физических и юридических лиц;
• страховой договор, который позволяет физическому лицу, заключившему его, рассчитывать на определенные выплаты по истечению заявленного срока времени (к примеру, выход на пенсию);
• серия страховых выплат (например, при несчастном случае).

Аннуитет всегда устанавливается банковскими организациями индивидуально для каждого клиента. Он бывает двух видов:

• аннуитет постнумерандо, где платеж должен осуществляться во второй половине отчетного периода;
• аннуитет преднумерандо, где платеж должен осуществляться в первой половине отчетного периода.

Также аннуитет делится на:

1. Пенсионный. На сегодняшний день данный вид аннуитета является достаточно актуальным. Многие люди знают, что с наступлением пенсионного возраста найти новую работу будет крайне проблематично, а жить на одну пенсию — мало кому удается. Поэтому, чтобы избежать плачевной ситуации в будущем работники, будучи в молодом возрасте, заключают пенсионные договора, вкладывая туда часть с нынешней зарплаты. Выплата будет происходить из пенсионного фонда Российской Федерации.
2. Страховые. Данные выплаты регулируются и начисляются страховыми организациями при наступлении страховых случаев (болезнь, несчастный случай и т.д.).
3. Финансовые. Это различные банковские платежи и платежи из иных организаций, занимающихся финансами.
4. Аннуитеты, оплачиваемые юридическими лицами. Если рассматривать аннуитеты по времени их зачисления на банковский счет, то они бывают срочными и бессрочными.

При срочном аннуитете средства зачисляются в определенный период, который имеет ограниченное количество времени. Поступление денег характеризуется равными частями и через одинаковый промежуток времени. Расчет данного вида аннуитета происходит по системе наращения или по системе дисконтирования. Дисконтирование – это выявление стоимости выплат при помощи изучения денежных поступлений к определенной временной точке. Проще говоря, это анализ соотношения будущих доходов к их сегодняшней стоимости. Примерами срочных аннуитетов могут быть разного рода платежи за аренду жилья, земли и др.

Бессрочным аннуитетом принято считать равные выплаты через равный промежуток времени в течение долгого срока. Консоль является отличным примером для понимания специфики бессрочного аннуитета. Данные облигации, поддерживаемые государством, имеют срок действия более 30 лет.

Аннуитетные выплаты имеют различие по количеству выплат. Они могут выплачиваться как один раз в год, так и несколько раз в течение года (при срочном аннуитете).

Начисление процентов может происходить один раз в год, несколько раз в год или непрерывно. Этот вопрос всегда решается в индивидуальном порядке между банковской организацией и клиентом.

В зависимости от финансовой ситуации в стране или политики банка, могут устанавливаться:

• фиксированный аннуитет (с момента заключения договора и до самого конца банк не имеет права повышать процент выше заявленного в договоре);
• валютный аннуитет (здесь платежи имеют прямую зависимость от одной или некоторых валют, которые имеют повышенный уровень стабильности);
• индексируемый аннуитет (платежи напрямую имеют привязку к индексу инфляции в стране);
• переменный аннуитет (платежи имеют прямую зависимость от величины дохода определенных механизмов на финансовом рынке).

Для того, чтобы определить сумму равных выплат по кредитованию в течение определенного времени, необходимо рассчитать коэффициент аннуитета, который способен преобразовать единовременную выплату в платежный график.

Расчет аннуитета (формулы)

Для расчета данного коэффициента используется специальная общепринятая формула:

С практической точки зрения могут возникать некоторые расхождения от математического расчета при помощи формулы: для удобства совершения платежа может быть применена система округления суммы выплат или же округление суммы проводится из-за разного числа дней в том или другом месяце. В особенности это касается последнего месяца в графике платежей. По факту, замыкающая список сумма всегда отличается в меньшую сторону на некоторое значение.

Практически всегда при аннуитете платежи производятся в конце отчетного периода – постнумерандо. В данном случае, сумма выплаты за период должна рассчитываться по другой формуле:

Для того, чтобы более детально рассмотреть структуру аннуитетных платежей, стоит решить простую задачку. Например, нужно рассчитать ежемесячную выплату по кредиту сроком на пять лет и с суммой в 30 тысяч рублей под 8% годовых. Выплаты будут осуществляться ежемесячно, то необходимо перевести годовую процентную ставку в месячную. Делается это по довольно простой формуле:

Далее нужно подставить в формулу значения i = 0.00643 и n = 60 (5 лет – это 60 месяцев). Полученный коэффициент нужно умножить на величину кредита – 30000. В итоге получаем, что сумма ежемесячного платежа равна примерно 603 рубля.

Выплата кредитного займа происходит обычно каждый месяц или каждый квартал. При таких выплатах задается годовая процентная ставка i. При условии, что выплаты назначаются постнумерандо m раз в год за n лет, то существует формула, которая отличается от предыдущей формулы повышенной точностью расчета аннуитетного коэффициента:

Указанная формула для расчета коэффициента аннуитетных платежей основывается на наращении величины долговой суммы при помощи сложной процентной формулы. В банковских расчетах имеется еще одна формула для определения коэффициента, которая основывается на наращении величины долговой суммы при помощи простой процентной формулы. Отличительная черта простых и сложных процентов – это отсутствие промежутка в капитализации процентных соотношений. В данном раскладе будет в первую очередь производиться погашение основного долга, а уже после его оплаты пойдет оплата процентов.

Стоит отметить, что выполнять все вышеперечисленные действия собственноручно – это очень долго и трудоемко. Уйдет большое количество времени, чтобы разобраться в одним человеком, а если нужно рассчитать несколько сотен аннуитетов, то ситуация для простого сотрудника банка окажется совершенно невыполнимой. Поэтому при оформлении кредита работники банковских организаций имеют в своем арсенале специальные калькуляторы и программы, где нужно только правильно вписать числовые значения, и они самостоятельно рассчитают график аннуитетных платежей для каждого клиента.

Сами клиенты могут рассчитать свой график погашения аннуитета при помощи онлайн программ, которых очень много в сети интернет. Необходимо лишь ввести величину кредита, срок и процентную ставку.

Достоинства аннуитетных платежей

Аннуитетные платежи являются одним из современных способов погашения кредитного долга перед банком. Данный вариант оплаты долгового обязательства не всегда является выгодным для клиента, но отличается повышенным удобством – отсутствует неразбериха «когда платить и в каком количестве». Платеж по кредиту поступает ежемесячно в одно и то же время и в одинаковом денежном эквиваленте. Это огромный плюс для клиента и для банковской организации: нет нужды идти в банк и брать расчетный лист для выявления суммы долга на последующий месяц.

Помимо этого данный способ оплаты кредита предпочтителен для тех лиц, которые имеют невысокий заработок.

Вместе с аннуитетными платежами существует оплата кредитного долга по дифференцированной системе, где выплаты ежемесячно подвергаются перерасчету, потому что происходит оплата части процентов от конечной величины долга клиента. С каждым месяцем после оплаты кредита сумма долга уменьшается и, соответственно, процентная величина также изменяется. Выходит, что каждый месяц необходимо вносить все меньшее количество денег, но первоначальные суммы платежа достаточно высокие и не каждое лицо имеет возможность их вносить.

Недостатки

У данного вида платежей имеется один большой минус: первоначально выплаты строятся с преобладанием процентного эквивалента, т.е. сумма долга строится на 2/3 из процентов, а 1/3 – это сумма долга.

Аннуитет является выгодным банковской организации: сначала банк обезопасит себя, забрав проценты, а потом уже «примет» кредитные деньги.

Если клиент намерен досрочно погасить свой долг, то эту операцию следует произвести до того момента, как будут выплачены проценты. Данная операция практически не будет иметь смысла при погашении «после» — сумму, отданную за проценты, никто не вернет. В таком случае досрочное погашение просто избавит от кредитного обязательства.

Подведя итог, можно сказать, что аннуитет – это хороший выход для заемщиков, которые имеют долговое обязательство и не обладают высоким уровнем дохода. Ведь всегда легче и проще платить раз в месяц одинаковую сумму в один и тот же день.

Что такое аннуитетный платеж

При обращении в банк клиенту по умолчанию предлагают погашать долг аннуитетным платежом, т.е. равными долями. Что это за платеж, как соотносится размер погашаемого долга и проценты за пользование средствами, каковы его достоинства и недостатки? Ответы на эти вопросы нужно знать, чтобы иметь возможность выбрать между аннуитетным и дифференцированным платежом.

Согласно банковской терминологии, аннуитет — это такой тип платежа по кредиту, при котором размер ежемесячного взноса остается одинаковым. Например, если взять 250 тыс. рублей на 5 лет под 17% годовых, размер платежа составит 6213 рублей в месяц, и его можно изменить только двумя способами:

• путем частичного досрочного погашения — в этом случае уменьшится основной долг, и будет произведен пересчет платежа в соответствии с новой суммой, соответственно, чем больше погашено досрочно, тем меньший платеж придется вносить ежемесячно;
• путем рефинансирования — т.е. изменения процентной ставки, срока платежа и т.д., под рефинансированием обычно подразумевается уменьшение платежа, но может произойти и увеличение — например, если объединяется несколько кредитов в один.

Но даже после изменения суммы основного долга дальнейшее погашение кредита будет происходить равными платежами.

Каждый взнос при аннуитете состоит из двух частей:

• погашение основного долга;
• уплата процентов за пользование деньгами.

В начальный период платежа при аннуитетной схеме уплачивается больше процентов, чем погашается долга, поэтому размер переплаты может оказаться существенным. Особенно это касается длительных платежей при кредите на крупную сумму — ипотека или заем на авто.

Так, если взять ипотеку на сумму 2.5 миллиона рублей на 20 лет по 12% годовых, то размер платежа в месяц составит 27527 рублей, и в первый раз из них 25000 рублей уйдут на оплату процентов, а общий долг уменьшится только на 2527 рублей.

Как рассчитать аннуитетный платеж

Самый простой способ рассчитать размер будущих аннуитетных платежей — воспользоваться нашим кредитным калькулятором, однако если хочется самому посмотреть, как рассчитывается платеж, можно воспользоваться готовыми формулами.

Итак, как мы выяснили, аннуитетный платеж «распадается» на две части. Поэтому в расчетах будут использоваться две формулы: по одной надо рассчитать общую сумму платежа, по второй — проценты.

Для определения суммы ежемесячно платежа нужно воспользоваться такой формулой:

Платеж = сумма кредита * (P + )

где Р — месячная ставка по кредиту (годовая ставка / 12), а N — число месяцев, когда действует кредит.

Так, если взят кредит на сумму 200000 рублей на 60 месяцев под 24% годовых, то размер платежа в месяц составит:

200000 * (2 + ) = 5753.59

Сразу отметим, что в реальности банками может использоваться немного другая формула, которая рассчитывает размер платежа исходя из разной продолжительности месяцев, учитывая «високосность» года и т.п., поэтому цифры в банковских расчетах могут незначительно отличаться.

Вторая формула — для определения процентов, она достаточно сложна, так как для расчетов используется сложение процентов. Однако чаще всего используется ее упрощенная версия:

Проценты = остаток долга * годовая ставка по кредиту / 12

Так, в указанном случае в первый месяц придется выплатить процентов:

200000 * 0,24 / 12 = 4000

Таким образом, в приведенном примере сумма аннуитетного платежа в месяц составит 5753.59 руб., из них в качестве процентов придется заплатить 4000 рублей.

Поскольку с каждым платежом основной долг уменьшается, то при составлении графика платежей необходимо каждый раз производить расчет заново, сокращая долг на разницу между целым платежом и уплаченными процентами.

Так, за первый месяц основной долг уменьшится на 1753.59 руб. поэтому во второй месяц процентов будет уплачено меньше:

(200000 — 1753.59) * 0.24 / 12 = 3964.93

а размер долга уменьшится уже на 1788.66 руб., и так далее.

Достоинства и недостатки аннуитетного платежа

Сравнивать аннуитетный тип погашения долга имеет смысл с дифференцированным, при котором размер платежей уменьшается. Так, достоинства этого способа таковы:

• сумма взносов заранее определена и всегда одинакова, проще планировать свой бюджет на будущее, а в случае с дифференцированным каждый раз придется узнавать, сколько необходимо заплатить;
• первые платежи аннуитета будут меньше, чем в случае с дифференцированным;
• данный способ позволит взять кредит на большую сумму, так как банки рассчитывают максимальный месячный платеж исходя из дохода клиента.

Еще одно преимущество аннуитетного платежа связано с возможностью получения налогового вычета на проценты по ипотеке, поскольку клиент погашает в первую очередь именно проценты — это позволит ему получить больший размер компенсации.

Недостаток у аннуитетного типа платежа, пожалуй, только один, но существенный: возникает бо́льшая переплата, чем при дифференцированном платеже. Так, в приведенном выше примере общий размер переплаты составит 145215.6 руб. (72.6% от суммы кредита), при дифференцированном же — 122000.1 руб. (61% от суммы кредита). Чем крупнее заем, тем ощутимее будет разница в переплате.

Поэтому при выборе типа платежа необходимо исходить из того, сможете ли вы применять досрочное погашение, так как только с его помощью можно уменьшить переплату и уменьшить размер ежемесячных платежей.

• Календарь выходных и праздничных дней на 2019 год в России
  Рабочий календарь на 2019 год. Полный список выходных и праздников 2019 года. Статистические данные.
• Страхование вкладов в банках — что это и как работает?
  Узнайте о системе страхования банковских вкладов в России, что и как сделать, чтобы не потерять свои банковские депозиты.
• IBAN в реквизитах банка — что это такое?
  Узнайте, что за поле «IBAN» в банковских реквизитах
• Календарь выходных и праздничных дней на 2018 год
  Полный список выходных и праздников 2018 года.
• Что делать, если перевел деньги не на ту карту?
  Разберемся, что делать, если вы отправили деньги не туда, куда хотели.